5 Se dan dos círculos tangentes y un punto $P$ en su tangente común perpendicular a las rectas que unen sus centros. Construya con regla y compás todos los círculos que sean tangentes a estos dos círculos y que pasen por el punto $P$.

1 Tarik desea elegir algunos números distintos del conjunto $S = \{2,...,111\}$ de tal manera que ninguno de los números elegidos pueda escribirse como el producto de otros dos números elegidos distintos. ¿Cuál es la cantidad máxima de números que Tarik puede elegir?

1 Demuestre que dados cualesquiera 9 puntos dentro de un cuadrado de lado 1, siempre podemos encontrar 3 que formen un triángulo con área menor que $\frac 18$. Bulgaria Iris

2 Para números reales positivos $a, b$ y $c$, demuestre que $$\frac{a^3}{a^2 + ab + b^2} +\frac{b^3}{b^2 + bc + c^2} +\frac{c^3}{ c^2 + ca + a^2} \ge\frac{ a + b + c}{3}$$

4 Durante un recreo, $n$ niños en la escuela se sientan en círculo alrededor de su maestro para jugar un juego. El maestro camina en el sentido de las agujas del reloj cerca de los niños y reparte dulces a algunos de ellos de acuerdo con la siguiente regla: selecciona a un niño y le da un dulce, luego se salta al siguiente niño y le da un dulce al siguiente, luego se salta 2 y le da un dulce al siguiente, luego se salta 3, y así sucesivamente. Determine los valores de $n$ para los cuales eventualmente, quizás después de muchas rondas, todos los niños tendrán al menos un dulce cada uno.

2 Sea $\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} + \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} = k$. Calcule la siguiente expresión en términos de $k$: \[ E(x,y) = \frac{x^8 + y^8}{x^8-y^8} - \frac{ x^8-y^8}{x^8+y^8}. \] Ciprus Valentin

3 Defina una estrella regular de $n$ puntas como la unión de $n$ segmentos de recta $P_1P_2, P_2P_3, ..., P_nP_1$ tales que $\bullet$ los puntos $P_1,P_2,...,P_n$ son coplanares y no hay tres de ellos que sean colineales, $\bullet$ cada uno de los $n$ segmentos de recta interseca al menos a uno de los otros segmentos de recta en un punto distinto a un extremo, $\bullet$ todos los ángulos en $P_1, P_2,..., P_n$ son congruentes, $\bullet$ todos los $n$ segmentos de recta $P_1P_2, P_2P_3, ..., P_nP_1$ son congruentes, y $\bullet$ el camino $P_1P_2...P_nP_1$ gira en sentido antihorario en un ángulo menor a $180^o$ en cada vértice. No existen estrellas regulares de $3$, $4$ o $6$ puntas. Todas las estrellas regulares de $5$ puntas son semejantes, pero existen dos estrellas regulares de $7$ puntas no semejantes. Encuentre todos los valores posibles de $n$ tales que existan exactamente $29$ estrellas regulares de $n$ puntas no semejantes.

3 Un entero $a\ge1$ se llama Egeo si ninguno de los números $a^{n+2}+3a^n+1$ con $n\ge1$ es primo. Demuestre que hay al menos 500 enteros Egeos en el conjunto $\{1,2,\ldots,2018\}$. (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria)

4 Determine el mayor entero $N$ para el cual existe una tabla $T$ de $6\times N$ que posee las siguientes propiedades: $*$ Cada columna contiene los números $1, 2, \ldots, 6$ en algún orden. $*$ Para cualesquiera dos columnas $i\ne j$, existe una fila $r$ tal que $T(r,i)= T(r,j)$. $*$ Para cualesquiera dos columnas $i\ne j$, existe una fila $s$ tal que $T(s,i)\ne T(s,j)$. (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria)

3 Sea $ABC$ un triángulo y sea $I$ el incentro. Sean $N$ y $M$ los puntos medios de los lados $AB$ y $CA$ respectivamente. Las rectas $BI$ y $CI$ cortan a $MN$ en $K$ y $L$ respectivamente. Demuestre que $AI+BI+CI>BC+KL$. Grecia Iris