2 La mediatriz del lado $AC$ del triángulo $ABC$ corta a $BC$ y $AB$ en los puntos $A_1$ y $C_1$ respectivamente. Sean $O$ y $O_1$ los circuncentros de los triángulos $ABC$ y $A_1BC_1$ respectivamente. Demuestre que $C_1O_1\perp AO$.

Las alturas $AA_1, CC_1$ del triángulo acutángulo $ABC$ se cortan en el punto $H$; $B_0$ es el punto medio de $AC$. Una recta que pasa por $B$ y es paralela a $AC$ corta a $B_0A_1$ y $B_0C_1$ en los puntos $A'$ y $C'$, respectivamente. Demuestre que $AA'$, $CC'$ y $BH$ son concurrentes.

1 Encuentre todas las representaciones posibles de $2022$ como una suma de al menos dos enteros positivos consecutivos y demuestre que estas son las únicas representaciones.

2 Sean $A$ y $B$ los dos focos de una elipse y sea $P$ un punto en dicha elipse. Demuestre que los radios focales de $P$ (es decir, los segmentos $\overline{AP}$ y $\overline{BP}$) forman ángulos iguales con la tangente a la elipse en $P$.

3 Encuentre todos los enteros positivos $a, b, c, d$ y $n$ que satisfacen $n^a + n^b + n^c = n^d$ y demuestre que estas son las únicas soluciones.

4 Calcule el valor exacto de la serie $\sum _{n=2} ^\infty \log (n^3 +1) - \log (n^3 - 1)$ y proporcione una justificación.

1 Dados números naturales $ x $, $ y $, $ z $, $ t $ coprimos dos a dos tales que $ xy + yz + zt = xt $. Demuestre que la suma de los cuadrados de dos de estos números es el doble de la suma de los cuadrados de los dos restantes.

100 equipos de voleibol jugaron un torneo de una sola ronda. No se jugaron dos partidos al mismo tiempo. Resultó que, antes de cada partido, los equipos que se enfrentaban entre sí tenían el mismo número de victorias. Encuentre todos los números posibles de victorias para el ganador de este torneo.

3 Para todos los números reales positivos $a_1, a_2, \dots, a_n$, demuestre que $$ \frac{a_1\! +\! a_2}{2} \cdot \frac{a_2\! +\! a_3}{2} \cdot \dots \cdot \frac{a_n\! +\! a_1}{2} \leq \frac{a_1\!+\!a_2\!+\!a_3}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{a_2\!+\!a_3\!+\!a_4}{2 \sqrt{2}} \cdot \dots \cdot \frac{a_n\!+\!a_1\!+\!a_2}{2 \sqrt{2}}.$$

8-9.3 ¿Es posible dividir todos los subconjuntos no vacíos de un conjunto de 10 elementos en ternas de modo que, en cada terna, dos de los subconjuntos sean disjuntos y su unión dé como resultado el tercero? Propuesto por Vladislav Frank Fedor