11 Demuestre que una pirámide $A_1A_2 \ldots A_{2k+1}S$ con aristas laterales iguales y ángulos espaciales iguales entre caras laterales adyacentes es regular. Amir

12 Consideramos un prisma que tiene como bases superior e inferior los pentágonos: $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}$ y $B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}B_{5}$. Cada uno de los lados de los dos pentágonos y los segmentos $A_{i}B_{j}$ con $i,j=1,\ldots,5$ están coloreados de rojo o azul. En todo triángulo que tiene todos sus lados coloreados, existe un lado rojo y un lado azul. Demuestre que los 10 lados de las dos bases están coloreados del mismo color. Amir

54 Considere las sucesiones $(a_n), (b_n)$ definidas por \[a_1=3, \quad b_1=100 , \quad a_{n+1}=3^{a_n} , \quad b_{n+1}=100^{b_n} \] Encuentre el entero $m$ más pequeño para el cual $b_m > a_{100}.$ Amir

53 Una sucesión infinita creciente de enteros positivos $n_j (j = 1, 2, \ldots )$ tiene la propiedad de que para cierto $c$, \[\frac{1}{N}\sum_{n_j\le N} n_j \le c,\] para todo $N >0$. Demuestre que existen un número finito de sucesiones $m^{(i)}_j (i = 1, 2,\ldots, k)$ tales que \[\{n_1, n_2, \ldots \} =\bigcup_{i=1}^k\{m^{(i)}_1 ,m^{(i)}_2 ,\ldots\}\] y \[m^{(i)}_{j+1} > 2m^{(i)}_j (1 \le i \le k, j = 1, 2,\ldots).\]

13 El plano está dividido en cuadrados iguales por líneas paralelas; es decir, se da una cuadrícula. Sea $M$ un conjunto arbitrario de $n$ cuadrados de esta cuadrícula. Demuestre que es posible elegir no menos de $n/4$ cuadrados de $M$ de tal manera que no haya dos de ellos que tengan un punto en común. Amir

52 Sea $\lambda > 1$ un número real dado y $(n_k)$ una sucesión de enteros positivos tal que $\frac{n_{k+1}}{n_k}> \lambda$ para $k = 1, 2,\ldots$ Demuestre que existe un entero positivo $c$ tal que ningún entero positivo $n$ puede representarse de más de $c$ formas en la forma $n = n_k + n_j$ o $n = n_r - n_s$.

51 Sea $ABC$ un triángulo arbitrario y sean $S_1, S_2, \cdots, S_7$ círculos que satisfacen las siguientes condiciones: $S_1$ es tangente a $CA$ y $AB$, $S_2$ es tangente a $S_1, AB$ y $BC$, $S_3$ es tangente a $S_2, BC$ y $CA$, .............................. $S_7$ es tangente a $S_6, CA$ y $AB$. Demuestre que los círculos $S_1$ y $S_7$ coinciden.

50 Sean $m$ enteros positivos $a_1, \dots , a_m$ dados. Demuestre que existen menos de $2^m$ enteros positivos $b_1, \dots , b_n$ tales que todas las sumas de $b_k$ distintos son distintas y todos los $a_i \ (i \leq m)$ aparecen entre ellos. Amir

49 Sean dadas dos sucesiones de enteros $f_i(1), f_i(2), \cdots (i = 1, 2)$ que satisfacen: $(i) f_i(nm) = f_i(n)f_i(m)$ si $\gcd(n,m) = 1$ ; $(ii)$ para todo primo $P$ y todo $k = 2, 3, 4, \cdots$ , $f_i(P^k) = f_i(P)f_i(P^{k-1}) - P^2f(P^{k-2}).$ Además, para todo primo $P$ : $(iii) f_1(P) = 2P,$ $(iv) f_2(P) < 2P.$ Demuestre que $|f_2(n)| < f_1(n)$ para todo $n$ .

48 En el plano se da un círculo $C$ de radio unitario. Para cualquier recta $l$, se define un número $s(l)$ de la siguiente manera: Si $l$ y $C$ se intersecan en dos puntos, $s(l)$ es su distancia; de lo contrario, $s(l) = 0$. Sea $P$ un punto a una distancia $r$ del centro de $C$. Se define $M(r)$ como el valor máximo de la suma $s(m) + s(n)$, donde $m$ y $n$ son rectas variables mutuamente ortogonales que pasan por $P$. Determine los valores de $r$ para los cuales $M(r) > 2$.