20 Demuestre que para cualesquiera vectores $a, b$ en el espacio euclidiano, \[|a \times b|^3 \leq \frac{3 \sqrt 3}{8} |a|^2 |b|^2 |a-b|^2\] Observación. Aquí $\times$ denota el producto vectorial. Amir

26 Sea $n$ un entero positivo. Si $4^n + 2^n + 1$ es un número primo, demuestre que $n$ es una potencia de tres. Amir

43 Sean $a, b, c$ las longitudes de los lados $BC, CA, AB$, respectivamente, de un triángulo $ABC$. Si $P$ es cualquier punto en la circunferencia del círculo inscrito en el triángulo, demuestre que $aPA^2+bPB^2+cPC^2$ es constante.

67 Un círculo $C$ con centro $O$ en la base $BC$ de un triángulo isósceles $ABC$ es tangente a los lados iguales $AB, AC$. Si se seleccionan un punto $P$ en $AB$ y un punto $Q$ en $AC$ tales que $PB \times CQ = (\frac{BC}{2})^2$, demuestre que el segmento de recta $PQ$ es tangente al círculo $C$, y demuestre el recíproco. Amir

66 Encuentre todos los números naturales $n$ para los cuales $2^8 +2^{11} +2^n$ es un cuadrado perfecto. Amir

65 Dada una función $f$ tal que $f(x)\le x$ para todo $x\in\mathbb{R}$ y $f(x+y)\le f(x)+f(y)$ para todo $\{x,y\}\in\mathbb{R}$, demuestre que $f(x)=x$ para todo $x\in\mathbb{R}$.

64 Desde un punto $P$ en el arco $BC$ del circuncírculo del triángulo $ABC$, se construye $PX$ perpendicular a $BC$, $PY$ perpendicular a $AC$ y $PZ$ perpendicular a $AB$ (prolongando los lados si fuera necesario). Demuestre que $\frac{BC}{PX}=\frac{AC}{PY}+\frac{AB}{PZ}$.

63 Sea $\{a_i\}$ una sucesión de $n$ números reales positivos que denotan las longitudes de los lados de un $n$-ágono arbitrario. Sea $s=\sum_{i=1}^{n}{a_i}$. Demuestre que $2\ge \sum_{i=1}^{n}{\frac{a_i}{s-a_i}}\ge \frac{n}{n-1}$.

62 Sea $T$ un triángulo dado con vértices $P_1,P_2,P_3$. Considere una subdivisión arbitraria de $T$ en un número finito de subtriángulos tal que ningún vértice de un subtriángulo se encuentre estrictamente entre dos vértices de otro subtriángulo. A cada vértice $V$ de los subtriángulos se le asigna un número $n(V)$ de acuerdo con las siguientes reglas: $(\text{i})$ Si $V = P_i$, entonces $n(V) = i$. $(\text{ii})$ Si $V$ se encuentra en el lado $P_i P_j$ de $T$, entonces $n(V) = i$ o $j$. $(\text{iii})$ Si $V$ se encuentra dentro del triángulo $T$, entonces $n(V)$ es cualquiera de los números $1,2,3$. Demuestre que existe al menos un subtriángulo cuyos vértices están numerados $1, 2, 3$.

21 Sea $E$ el conjunto de todas las aplicaciones biyectivas de $\mathbb R$ en $\mathbb R$ que satisfacen \[f(t) + f^{-1}(t) = 2t, \qquad \forall t \in \mathbb R,\] donde $f^{-1}$ es la aplicación inversa de $f$. Encuentre todos los elementos de $E$ que son aplicaciones monótonas. Amir