6 Sean $k$ y $m$ enteros mayores que $1$. Considere $k$ conjuntos disjuntos dos a dos $S_1, S_2, \cdots, S_k$; cada uno de estos conjuntos tiene exactamente $m+1$ elementos, uno de los cuales es rojo y los otros $m$ son todos azules. Sea $\mathcal{F}$ la familia de todos los subconjuntos $F$ de $S_1 \bigcup S_2 \bigcup \cdots \bigcup S_k$ tales que, para todo $i$, la intersección $F \bigcap S_i$ es monocromática; el conjunto vacío también es monocromático. Determine la mayor cardinalidad de una subfamilia $\mathcal{G} \subseteq \mathcal{F}$, tal que no existan dos conjuntos disjuntos en ella. Propuesto por Rusia, Andrew Kupavskii y Maksim Turevskii

1 Las longitudes de los lados de un triángulo son las raíces de un polinomio cúbico con coeficientes racionales. Demuestre que las alturas de este triángulo son raíces de un polinomio de sexto grado con coeficientes racionales.

3 Sea el polinomio $P(x)=x^3+19x^2+94x+a$ donde $a\in\mathbb{N}$. Si $p$ es un número primo, demuestre que no más de tres números de los números $P(0), P(1),\ldots, P(p-1)$ son divisibles por $p$.

4 Hay $10001$ estudiantes en una universidad. Algunos estudiantes se unen para formar varios clubes (un estudiante puede pertenecer a diferentes clubes). Algunos clubes se unen para formar varias sociedades (un club puede pertenecer a diferentes sociedades). Hay un total de $k$ sociedades. Suponga que se cumplen las siguientes condiciones: i.) Cada par de estudiantes está en exactamente un club. ii.) Para cada estudiante y cada sociedad, el estudiante está en exactamente un club de la sociedad. iii.) Cada club tiene un número impar de estudiantes. Además, un club con ${2m+1}$ estudiantes ($m$ es un entero positivo) está en exactamente $m$ sociedades. Encuentre todos los valores posibles de $k$. Propuesto por Guihua Gong, Puerto Rico

3 Para números naturales $n,m$ sea $S(n,m)$ el conjunto $\{(a_1,a_2,\dots,a_n): a_i \in \{1,2,\dots,m\}$ para $1\leqslant i \leqslant n\}$. Los índices de $a_i$, es decir $i$, se tomarán módulo $n$. Un subconjunto $T$ de $S(n,m)$ se llama omoshiroi si los conjuntos de $n-1$ tuplas definidos por $$\{(a_{i+1},a_{i+2},\dots,a_{i+n-1}): (a_1,a_2,\dots,a_n) \in T\}$$ son los mismos para todo $1\leqslant i \leqslant n$. Para un $n$ dado, sea $t(n)$ el valor más pequeño de $m > 1$ tal que $S(n,m)$ tiene un subconjunto omoshiroi de tamaño $k$ para todo $1\leqslant k \leqslant |S(n,m)|$. Encuentre el rango de $t(n)$ sobre todos los números naturales $n$. Propuesto por Siddharth Choppara

1 Considere la sucesión finita $\left\lfloor \frac{k^2}{1998} \right\rfloor$, para $k=1,2,\ldots, 1997$. ¿Cuántos términos distintos hay en esta sucesión? Grecia Valentin

4 Sea $f$ un polinomio mónico con coeficientes enteros de grado $m$. Suponga que $f$ tiene una raíz que no es un entero. Sean $a_1, a_2, \cdots, a_n$ enteros. Demuestre que la ecuación $$f(x) = (y+a_1)(y+a_2) \cdots (y+a_m)$$ es satisfecha por un número finito de pares de enteros $(x,y)$. Propuesto por Navid Safaei

2 Sea $F_{n}$ el $n$-ésimo número de Fibonacci (donde $F_{1}= F_{2}= 1$). Considere las funciones $f_{n}(x)=| . . . ||x|-F_{n}|-F_{n-1}|-...-F_{2}|-F_{1}|$, $g_{n}(x)=| . . . ||x-1|-1|-...-1|$ ($F_{1}+...+F_{n}$ unos). Demuestre que $f_{n}(x) = g_{n}(x)$ para todo número real $x.$ N.T.TUAN

3 Hay siete varillas erigidas en los vértices de un área heptagonal regular. La parte superior de cada varilla está conectada a la parte superior de su segundo vecino mediante un trozo de alambre recto de tal manera que, visto desde arriba, se observa que cada alambre cruza exactamente a otros dos. ¿Es posible establecer las alturas respectivas de las varillas de tal manera que no haya cuatro partes superiores de las varillas que sean coplanares y que cada alambre pase por uno de los cruces por encima y por el otro por debajo? N.T.TUAN

1 ¿Existe una sucesión de $2005$ enteros positivos consecutivos que contenga exactamente $25$ números primos? N.T.TUAN