6 Sean $k$ y $m$ enteros mayores que $1$. Considere $k$ conjuntos disjuntos dos a dos $S_1, S_2, \cdots, S_k$; cada uno de estos conjuntos tiene exactamente $m+1$ elementos, uno de los cuales es rojo y los otros $m$ son todos azules. Sea $\mathcal{F}$ la familia de todos los subconjuntos $F$ de $S_1 \bigcup S_2 \bigcup \cdots \bigcup S_k$ tales que, para todo $i$, la intersección $F \bigcap S_i$ es monocromática; el conjunto vacío también es monocromático. Determine la mayor cardinalidad de una subfamilia $\mathcal{G} \subseteq \mathcal{F}$, tal que no existan dos conjuntos disjuntos en ella. Propuesto por Rusia, Andrew Kupavskii y Maksim Turevskii