086 a) La lámpara de un faro ilumina un ángulo de $90$ grados. Demuestre que es posible orientar las lámparas de cuatro faros colocados arbitrariamente de tal manera que todo el plano quede iluminado. b) Hay ocho lámparas en ocho puntos del espacio. Cada una puede iluminar un octante (un polígono espacial de tres caras con tres aristas mutuamente ortogonales). Demuestre que es posible orientarlas de tal manera que todo el espacio quede iluminado.

085 a) Los dígitos de un número natural fueron reordenados. Demuestre que la suma del número dado y el número obtenido no puede ser igual a $999...9$ ($1967$ nueves). b) Los dígitos de un número natural fueron reordenados. Demuestre que si la suma del número dado y el número obtenido es igual a $1010$, entonces el número dado era divisible por $10$.

084 a) La altura máxima $|AH|$ del triángulo acutángulo $ABC$ es igual a la mediana $|BM|$. Demuestre que el ángulo $ABC$ no es mayor a $60$ grados. b) La altura $|AH|$ del triángulo acutángulo $ABC$ es igual a la mediana $|BM|$ y a la bisectriz $|CD|$. Demuestre que el triángulo $ABC$ es equilátero.

072 Hay exactamente un astrónomo en cada planeta de un sistema determinado. Él observa el planeta más cercano. El número de planetas es impar y todas las distancias son diferentes. Demuestre que hay un planeta que no está siendo observado.

073 a) Sean $B$ y $C$ puntos dentro del segmento $[AD]$. $|AB|=|CD|$. Demuestre que para todos los puntos $P$ en el plano se cumple la desigualdad $$|PA|+|PD|>|PB|+|PC|$$ b) Dados cuatro puntos $A,B,C,D$ en el plano. Para todos los puntos $P$ en el plano se cumple la desigualdad $$|PA|+|PD| > |PB|+|PC|.$$ Demuestre que los puntos $B$ y $C$ están dentro del segmento $[AD]$ y $|AB|=|CD|$.

074 ¿Pueden tanto $(x^2+y)$ como $(y^2+x)$ ser cuadrados perfectos para $x$ e $y$ naturales?

057 Dado un tablero $3\times3$ y $9$ tarjetas con algunos números (conocidos por los jugadores). Dos jugadores, por turnos, colocan esas tarjetas en el tablero. El primero gana si la suma de los números en la primera y la tercera fila es mayor que en la primera y la tercera columna. Demuestre que no importa qué números haya en las tarjetas, si el primero juega de la mejor manera, el segundo no puede ganar.

056 a) Cada uno de los números $x_1,x_2,...,x_n$ puede ser $1, 0$ o $-1$. ¿Cuál es el valor mínimo posible de la suma de todos los productos de parejas de dichos números? b) El valor absoluto de cada uno de los números $x_1,x_2,...,x_n$ no excede $1$. ¿Cuál es el valor mínimo posible de la suma de todos los productos de parejas de dichos números?

222 Dadas tres circunferencias del mismo radio en un plano. a) Las tres se cruzan en un punto $K$. Considere tres arcos $AK, CK, EK$: $A, C, E$ son los puntos de intersección de las circunferencias y los arcos se toman en el sentido de las agujas del reloj. Cada arco está dentro de un círculo, fuera del segundo y en el borde del tercero. Demuestre que la suma de los arcos es $180$ grados. b) Considere el caso en el que los tres círculos forman un triángulo curvilíneo $BDF$ como su intersección (en lugar de un punto $K$). Los arcos se toman en el sentido de las agujas del reloj. Cada arco está dentro de un círculo, fuera del segundo y en el borde del tercero. Demuestre que la suma de los arcos $AB, CD$ y $EF$ es $180$ grados.

146 a) Un juego para dos. El primer jugador escribe dos filas de diez números cada una, la segunda debajo de la primera. Debe cumplir la siguiente propiedad: si el número $b$ está escrito debajo de $a$, y $d$ debajo de $c$, entonces $a + d = b + c$. El segundo jugador debe determinar todos los números. Se le permite hacer preguntas como "¿Qué número está escrito en la posición $x$ de la fila $y$?". ¿Cuál es el número mínimo de preguntas que debe hacer el segundo jugador antes de descubrir todos los números? b) Había una tabla $m\times n$ en la pizarra con la propiedad: si usted elige dos filas y dos columnas, entonces la suma de los números en los dos vértices opuestos de los rectángulos formados por esas líneas es igual a la suma de los números en los otros dos vértices. Algunos de los números han sido borrados, pero todavía es posible restaurar toda la tabla. ¿Cuál es el número mínimo posible de números restantes?