238 Varias fichas blancas y negras están colocadas a lo largo de una circunferencia. Dos hombres retiran fichas por turnos. El primero retira todas las negras que tenían al menos una vecina blanca, y el segundo, todas las blancas que tenían al menos una vecina negra. Se detienen cuando todas las fichas son del mismo color. a) Sea $40$ el número de fichas inicialmente. ¿Es posible que después de dos movimientos de cada hombre quede solo una ficha? b) Sea $1000$ el número de fichas inicialmente. ¿Cuál es el número mínimo posible de movimientos para llegar a la posición en la que quede solo una ficha?

084 a) La altura máxima $|AH|$ del triángulo acutángulo $ABC$ es igual a la mediana $|BM|$. Demuestre que el ángulo $ABC$ no es mayor a $60$ grados. b) La altura $|AH|$ del triángulo acutángulo $ABC$ es igual a la mediana $|BM|$ y a la bisectriz $|CD|$. Demuestre que el triángulo $ABC$ es equilátero.

465 Demuestre que existen infinitas ternas de enteros positivos distintos $a, b, c$ tales que cada uno divide al producto de los otros dos y $a + b = c + 1$.

Dos cuadrados iguales, uno con lados rojos y otro con lados azules, forman un octágono en su intersección. Demuestre que la suma de las longitudes de los lados rojos del octágono es igual a la suma de las longitudes de los lados azules del octágono.

418 El polinomio cuadrático $x^2+ax+b+1$ tiene raíces naturales. Demuestre que $(a^2+b^2)$ es un número compuesto.

421 El rey de cierto estado desea construir $n$ ciudades y $n-1$ carreteras, conectándolas para brindar la posibilidad de trasladarse de cualquier ciudad a cualquier otra. (Cada carretera conecta dos ciudades, las carreteras no se cruzan y no pasan a través de otra ciudad). Él también desea que las distancias más cortas entre las ciudades, a lo largo de las carreteras, sean $1, 2, 3, \dots, n(n-1)/2$ kilómetros. ¿Es posible para a) $n=6$ b) $n=1986$?

420 El punto $M$ pertenece al lado $[AC]$ del triángulo acutángulo $ABC$. Se circunscriben dos círculos alrededor de los triángulos $ABM$ y $BCM$. ¿Qué posición de $M$ corresponde al área mínima de la intersección de dichos círculos?

466 Dada una sucesión de $19$ enteros positivos que no exceden $88$ y otra sucesión de $88$ enteros positivos que no exceden $19$. Demuestre que podemos encontrar dos subsecuencias de términos consecutivos, una de cada sucesión, con la misma suma.

395 Se trazan dos perpendiculares desde los puntos medios de cada lado de un triángulo acutángulo hacia los otros dos lados. Esos seis segmentos forman un hexágono. Demuestre que el área del hexágono es la mitad del área del triángulo.

371 a) El producto de $n$ enteros es igual a $n$, y su suma es cero. Demuestre que $n$ es divisible por $4$. b) Sea $n$ divisible por $4$. Demuestre que existen $n$ enteros tales que su producto es igual a $n$ y su suma es cero.