40 Las cuatro caras del tetraedro $ABCD$ son triángulos congruentes cuyos ángulos forman una progresión aritmética. Si las longitudes de los lados de los triángulos son $a < b < c$, determine el radio de la esfera circunscrita al tetraedro como una función de $a, b$ y $c$. ¿Cuál es la razón $c/a$ si $R = a$? Amir

18 Sea $b \geq 2$ un entero positivo. (a) Demuestre que para que un entero $N$, escrito en base $b$, sea igual a la suma de los cuadrados de sus dígitos, es necesario que $N = 1$ o que $N$ tenga solo dos dígitos. (b) Dé una lista completa de todos los enteros que no exceden $50$ que, con respecto a alguna base $b$, son iguales a la suma de los cuadrados de sus dígitos. (c) Demuestre que para cualquier base $b$, el número de enteros de dos dígitos que son iguales a la suma de los cuadrados de sus dígitos es par. (d) Demuestre que para cualquier base impar $b$ existe un entero distinto de $1$ que es igual a la suma de los cuadrados de sus dígitos. Amir

53 Sea $a \in \mathbb R$ y sean $z_1, z_2, \ldots, z_n$ números complejos de módulo $1$ que satisfacen la relación \[\sum_{k=1}^n z_k^3=4(a+(a-n)i)- 3 \sum_{k=1}^n \overline{z_k}\] Demuestre que $a \in \{0, 1,\ldots, n \}$ y $z_k \in \{1, i \}$ para todo $k.$ Amir

55 Para cada $a \in \mathbb N$, denote por $M(a)$ el número de elementos del conjunto \[ \{ b \in \mathbb N | a + b \text{ es un divisor de } ab \}.\] Encuentre $\max_{a\leq 1983} M(a).$ Amir

1 Las localidades $P_1, P_2, \dots, P_{1983}$ son atendidas por diez aerolíneas internacionales $A_1, A_2, \dots, A_{10}$. Se observa que existe servicio directo (sin escalas) entre cualquiera de estas dos localidades y que todos los horarios de las aerolíneas ofrecen vuelos de ida y vuelta. Demuestre que al menos una de las aerolíneas puede ofrecer un viaje de ida y vuelta con un número impar de aterrizajes. Amir

10.1 Encuentre todos los números primos $a,b,c$ que cumplen la igualdad: $(a-2)!+2b!=22c-1$

1 Considere las sucesiones $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ , $\cdots$ de enteros no negativos definidas seleccionando cualesquiera $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ (no todos 0) y para cada $n$ $\geq$ 3 definiendo $a_n$ = | $a_{n-1}$ - $a_{n-3}$ |. 1-En el caso particular en que $a_0$ = 1 , $a_1$ = 3 y $a_2$ = 2, calcule el inicio de la sucesión, listando $a_0$ , $a_1$ , $\cdots$ , $a_{19}$ , $a_{20}$. 2-Demuestre que para cada sucesión, existe una constante $c$ tal que $a_i$ $\leq$ $c$ para todo $i$ $\geq$ 0. Note que la constante $c$ puede depender de los números $a_0$ , $a_1$ y $a_2$. 3-Demuestre que, para cada elección de $a_0$ , $a_1$ y $a_2$, la sucesión resultante es eventualmente periódica. 4-Demuestre que la longitud mínima $p$ del periodo descrito en (3) es la misma para todos los valores iniciales permitidos $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ de la sucesión.

5 Sea un triángulo $ABC$ con incentro $I$. El incírculo del triángulo $ABC$ es tangente a $BC$ en $D$. Sean $P$ y $Q$ puntos en el lado $BC$ tales que $\angle PAB = \angle BCA$ y $\angle QAC = \angle ABC$, respectivamente. Sean $K$ y $L$ los incentros de los triángulos $ABP$ y $ACQ$, respectivamente. Demuestre que $AD$ es la recta de Euler del triángulo $IKL$. Propuesto por Le Viet An, Vietnam

4 Sea $n$ un entero positivo. Sea $\sigma(n)$ la suma de los divisores naturales $d$ de $n$ (incluyendo $1$ y $n$). Decimos que un entero $m \geq 1$ es superabundante (P.Erdos, $1944$) si $\forall k \in \{1, 2, \dots , m - 1 \}$, $\frac{\sigma(m)}{m} >\frac{\sigma(k)}{k}.$ Demuestre que existe una infinidad de números superabundantes. Amir

7 Encuentre todos los números $x \in \mathbb Z$ para los cuales el número \[x^4 + x^3 + x^2 + x + 1\] es un cuadrado perfecto. Amir