68 Tres de las raíces de la ecuación $x^4 -px^3 +qx^2 -rx+s = 0$ son $\tan A, \tan B$ y $\tan C$, donde $A, B$ y $C$ son ángulos de un triángulo. Determine la cuarta raíz como una función solo de $p, q, r$ y $s.$ Amir

24 Todo $x$, $0 \leq x \leq 1$, admite una representación única $x = \sum_{j=0}^{\infty} a_j 2^{-j}$, donde todos los $a_j$ pertenecen a $\{0, 1\}$ e infinitos de ellos son $0$. Si $b(0) = \frac{1+c}{2+c}$, $b(1) =\frac{1}{2+c}$, $c > 0$, y \[f(x)=a_0 + \sum_{j=0}^{\infty}b(a_0) \cdots b(a_j) a_{j+1}\] demuestre que $0 < f(x) -x < c$ para todo $x$, $0 < x < 1$. Amir

69 Sea $A$ uno de los dos puntos distintos de intersección de dos círculos coplanares desiguales $C_1$ y $C_2$ con centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente. Una de las tangentes comunes a los círculos toca a $C_1$ en $P_1$ y a $C_2$ en $P_2$, mientras que la otra toca a $C_1$ en $Q_1$ y a $C_2$ en $Q_2$. Sea $M_1$ el punto medio de $P_1Q_1$ y $M_2$ el punto medio de $P_2Q_2$. Demuestre que $\angle O_1AO_2=\angle M_1AM_2$.

71 Demuestre que toda partición del espacio tridimensional en tres subconjuntos disjuntos tiene la siguiente propiedad: uno de estos subconjuntos contiene todas las distancias posibles; es decir, para todo $a \in \mathbb R^+$, existen puntos $M$ y $N$ dentro de ese subconjunto tales que la distancia entre $M$ y $N$ es exactamente $a.$ Amir

45 Sean dos vasos, numerados $1$ y $2$, que contienen una cantidad igual de líquido, leche en el vaso $1$ y café en el vaso $2$. Se realiza lo siguiente: se toma una cucharada de mezcla del vaso $1$ y se vierte en el vaso $2$, y luego se toma la misma cucharada de la nueva mezcla del vaso $2$ y se vierte de nuevo en el primer vaso. ¿Qué sucede después de que esta operación se repite $n$ veces, y qué sucede cuando $n$ tiende a infinito? Amir

29 Sea $O$ un punto fuera de un círculo dado. Dos rectas $OAB$ y $OCD$ que pasan por $O$ cortan al círculo en $A, B, C, D$, donde $A$ y $C$ son los puntos medios de $OB$ y $OD$, respectivamente. Adicionalmente, el ángulo agudo $\theta$ entre las rectas es igual al ángulo agudo con el que cada recta corta al círculo. Encuentre $\cos \theta$ y demuestre que las tangentes al círculo en $A$ y $D$ se cortan sobre la recta $BC$.

38 Sea $\{u_n \}$ la sucesión definida por sus dos primeros términos $u_0, u_1$ y la fórmula de recurrencia \[u_{n+2 }= u_n - u_{n+1}.\] (a) Demuestre que $u_n$ puede escribirse de la forma $u_n = \alpha a^n + \beta b^n$ , donde $a, b, \alpha, \beta$ son constantes independientes de $n$ que deben ser determinadas. (b) Si $S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$ , demuestre que $S_n + u_{n-1}$ es una constante independiente de $n.$ Determine esta constante. Amir

72 Demuestre que para todo $x_1, x_2,\ldots , x_n \in \mathbb R$ se cumple la siguiente desigualdad: \[\sum_{n \geq i >j \geq 1} \cos^2(x_i - x_j ) \geq \frac{n(n-2)}{4}\] Amir

74 En un plano se dan dos puntos distintos $A,B$ y dos rectas $a, b$ que pasan por $B$ y $A$ respectivamente $(a \ni B, b \ni A)$ tales que la recta $AB$ está igualmente inclinada respecto a $a$ y $b$. Encuentre el lugar geométrico de los puntos $M$ en el plano tales que el producto de las distancias de $M$ a $A$ y a $a$ sea igual al producto de las distancias de $M$ a $B$ y a $b$ (es decir, $MA \cdot MA' = MB \cdot MB'$, donde $A'$ y $B'$ son los pies de las perpendiculares desde $M$ a $a$ y $b$ respectivamente). Amir

41 Sea $E$ el conjunto de $1983^3$ puntos del espacio $\mathbb R^3$ cuyas tres coordenadas son enteros entre $0$ y $1982$ (incluyendo $0$ y $1982$). Una coloración de $E$ es una aplicación de $E$ al conjunto {rojo, azul}. ¿Cuántas coloraciones de $E$ existen que satisfagan la siguiente propiedad: el número de vértices rojos entre los $8$ vértices de cualquier paralelepípedo rectángulo es un múltiplo de $4$? Amir