514 ¿Existe un rectángulo que pueda ser disecado en $15$ polígonos congruentes que no sean rectángulos? ¿Puede un cuadrado ser disecado en $15$ polígonos congruentes que no sean rectángulos?

425 Dado un hexágono regular. Cada lado se divide en $1000$ segmentos iguales. Todos los puntos de división se conectan con segmentos paralelos a los lados. Pintemos sucesivamente los tríos de nodos sin pintar de la red obtenida, si son vértices de un triángulo equilátero, sin importar su tamaño u orientación. Supongamos que hemos logrado pintar todos los vértices excepto uno. Demuestre que el nodo sin pintar no es un vértice del hexágono.

426 Encuentre todos los números naturales iguales al cuadrado del número de sus divisores.

388 Los puntos $A, B, C$ y $D$ (de izquierda a derecha) pertenecen a la recta. Demuestre que todo punto $E$, que no pertenece a la recta, satisface: $$|AE| + |ED| + | |AB| - |CD| | > |BE| + |CE|$$

Dos círculos desiguales se cortan en $X$ e $Y$. Sus tangentes comunes se cortan en $Z$. Una de las tangentes toca a los círculos en $P$ y $Q$. Demuestre que $ZX$ es tangente al circuncírculo de $PXQ$.

428 Se traza una recta a través del vértice $A$ del triángulo $ABC$ con $|AB|\ne|AC|$. Demuestre que la recta no puede contener más de un punto $M$ tal que $M$ no sea un vértice del triángulo y $\angle ABM = \angle ACM$. ¿Qué rectas no contienen ningún punto $M$ de este tipo?

408 El diámetro $[A_0A_5]$ divide una circunferencia con centro $O$ en dos semicircunferencias. Una de ellas está dividida en cinco arcos iguales $A_0A_1, A_1A_2, A_2A_3, A_3A_4, A_4A_5$. La recta $(A_1A_4)$ corta a las rectas $(OA_2)$ y $(OA_3)$ en los puntos $M$ y $N$. Demuestre que $(|A_2A_3| + |MN|)$ es igual al radio de la circunferencia.

485 La sucesión de enteros $a_n$ está dada por $a_0 = 0, a_n = p(a_{n-1})$, donde $p(x)$ es un polinomio cuyos coeficientes son todos enteros positivos. Demuestre que para cualesquiera dos enteros positivos $m, k$ con máximo común divisor $d$, el máximo común divisor de $a_m$ y $a_k$ es $a_d$.

371 a) El producto de $n$ enteros es igual a $n$, y su suma es cero. Demuestre que $n$ es divisible por $4$. b) Sea $n$ divisible por $4$. Demuestre que existen $n$ enteros tales que su producto es igual a $n$ y su suma es cero.

526 Dado un punto $X$ y $n$ vectores $\overrightarrow{x_i}$ con suma cero en el plano. Para cada permutación de los vectores formamos un conjunto de $n$ puntos, comenzando en $X$ y sumando los vectores en orden. Por ejemplo, con el orden original obtenemos $X_1$ tal que $XX_1 = \overrightarrow{x_1}$, $X_2$ tal que $X_1X_2 = \overrightarrow{x_2}$ y así sucesivamente. Demuestre que para alguna permutación podemos encontrar dos puntos $Y, Z$ con ángulo $\angle YXZ = 60^o$, de tal manera que todos los puntos se encuentren dentro o sobre el triángulo $XYZ$.