424 Dos circunferencias, con una distancia $d$ entre sus centros, se cortan en los puntos $P$ y $Q$. Se trazan dos rectas que pasan por el punto $A$ en la primera circunferencia ($Q\ne A\ne P$) y por los puntos $P$ y $Q$. Estas rectas cortan a la segunda circunferencia en los puntos $B$ y $C$. a) Demuestre que el radio del círculo circunscrito al triángulo $ABC$ es igual a $d$. b) Describa el conjunto de los centros del nuevo círculo si el punto $A$ se mueve a lo largo de toda la primera circunferencia.

Dado un hexágono regular. Se trazan las rectas paralelas a todos los lados desde todos los vértices y puntos medios de los lados (considere solo las partes interiores de dichas rectas con respecto al hexágono). De este modo, el hexágono queda dividido en $24$ triángulos y la figura tiene $19$ nodos. Se escriben $19$ números distintos en dichos nodos. Demuestre que al menos $7$ de los $24$ triángulos tienen la propiedad: los números en sus vértices aumentan (del menor al mayor) en sentido antihorario.

519 ¿Se pueden colorear los cuadrados de un tablero de ajedrez de $1990 \times 1990$ de negro o blanco de tal manera que la mitad de los cuadrados en cada fila y columna sean negros y las celdas simétricas con respecto al centro sean de color opuesto?

Dos círculos desiguales se cortan en $X$ e $Y$. Sus tangentes comunes se cortan en $Z$. Una de las tangentes toca a los círculos en $P$ y $Q$. Demuestre que $ZX$ es tangente al circuncírculo de $PXQ$.

482 Sean $m, n, k$ enteros positivos con $m \ge n$ y $1 + 2 + ... + n = mk$. Demuestre que los números $1, 2, ... , n$ pueden dividirse en $k$ grupos de tal manera que la suma de los números en cada grupo sea igual a $m$.

479 En el triángulo acutángulo $ABC$, se trazan las alturas $BD$ y $CE$. Sean $F$ y $G$ los puntos de la recta $ED$ tales que $BF$ y $CG$ son perpendiculares a $ED$. Demuestre que $EF = DG$.

526 Dado un punto $X$ y $n$ vectores $\overrightarrow{x_i}$ con suma cero en el plano. Para cada permutación de los vectores formamos un conjunto de $n$ puntos, comenzando en $X$ y sumando los vectores en orden. Por ejemplo, con el orden original obtenemos $X_1$ tal que $XX_1 = \overrightarrow{x_1}$, $X_2$ tal que $X_1X_2 = \overrightarrow{x_2}$ y así sucesivamente. Demuestre que para alguna permutación podemos encontrar dos puntos $Y, Z$ con ángulo $\angle YXZ = 60^o$, de tal manera que todos los puntos se encuentren dentro o sobre el triángulo $XYZ$.

407 Dado un cubo, una caja cúbica que se ajusta exactamente al cubo, y seis colores. Una persona pinta cada cara del cubo con un color único. Otra persona hace lo mismo con la caja. Demuestre que una tercera persona puede colocar el cubo dentro de la caja de tal manera que cada cara del cubo toque una cara de la caja de diferente color.

520 Sean $x_1, x_2, ..., x_n$ números reales positivos con suma $1$. Demuestre que $$\frac{x_1^2}{x_1 + x_2}+ \frac{x_2^2}{x_2 + x_3} +... + \frac{x_{n-1}^2}{x_{n-1} + x_n} + \frac{x_n^2}{x_n + x_1} \ge \frac12$$

531 ¿Para qué enteros positivos $n$ es $3^{2n+1} - 2^{2n+1} - 6^n$ compuesto?