406 Se trazan $n$ líneas rectas en un plano. Estas dividen el plano en varias partes. Algunas de las partes están pintadas. Ningún par de partes pintadas tiene un límite común de longitud distinta de cero. Demuestre que el número de partes pintadas no es mayor que $\frac{n^2 + n}{3}$.

434 Sea un $n$-gono regular $A_1A_2...A_n$. Demuestre que: a) si $n$ es un número par, entonces para un punto arbitrario $M$ en el plano, es posible elegir signos en la expresión $$\pm \overrightarrow{MA_1} \pm \overrightarrow{MA_2} \pm ... \pm \overrightarrow{MA_n}$$ para que sea igual al vector nulo. b) si $n$ es impar, entonces la expresión mencionada anteriormente es igual al vector nulo solo para un conjunto finito de puntos $M$.

500 Un insecto se encuentra en un techo cuadrado de lado $1$. El insecto puede saltar al punto medio del segmento que lo une con cualquiera de las cuatro esquinas del techo. Demuestre que en $8$ saltos puede llegar a una distancia menor a $1/100$ de cualquier punto elegido en el techo.

501 $ABCD$ tiene $AB = CD$, pero $AB$ no es paralelo a $CD$, y $AD$ es paralelo a $BC$. El triángulo $ABC$ se rota alrededor de $C$ hasta $A'B'C$. Demuestre que los puntos medios de $BC$, $B'C$ y $A'D$ son colineales.

480 Encuentre el valor mínimo de $\frac{xy}{z} + \frac{yz}{x} +\frac{ zx}{y}$ para números reales positivos $x, y, z$ con $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.

Dos círculos desiguales se cortan en $X$ e $Y$. Sus tangentes comunes se cortan en $Z$. Una de las tangentes toca a los círculos en $P$ y $Q$. Demuestre que $ZX$ es tangente al circuncírculo de $PXQ$.

439 Llamemos a un polinomio admisible si todos sus coeficientes son $0, 1, 2$ o $3$. Para un $n$ dado, encuentre el número de todos los polinomios admisibles $P$ tales que $P(2) = n$.

465 Demuestre que existen infinitas ternas de enteros positivos distintos $a, b, c$ tales que cada uno divide al producto de los otros dos y $a + b = c + 1$.

382 Sean $x, y, z$ números reales positivos que satisfacen el sistema: $\begin{cases} x^2 + xy + y^2/3= 25 \\ y^2/ 3 + z^2 = 9 \\ z^2 + zx + x^2 = 16 \end{cases}$ Encuentre el valor de la expresión $xy + 2yz + 3zx$.

Se trazan tres rectas paralelas a los lados de un triángulo en la parte del plano opuesta al vértice que no pertenece al lado. La distancia de cada lado a la recta correspondiente es igual a la longitud del lado. Demuestre que los seis puntos de intersección de dichas rectas con las prolongaciones de los lados se encuentran sobre una misma circunferencia.