31 Encuentre todas las funciones $f$ definidas sobre el conjunto de los números reales positivos que toman valores reales positivos y satisfacen: $f(xf(y))=yf(x)$ para todo $x,y$; y $f(x)\to0$ cuando $x\to\infty$.

30 Demuestre la existencia de una única sucesión $\{u_n\} \ (n = 0, 1, 2 \ldots )$ de enteros positivos tal que \[u_n^2 = \sum_{r=0}^n \binom{n+r}{r} u_{n-r} \qquad \text{para todo } n \geq 0\] Amir

29 Sea $O$ un punto fuera de un círculo dado. Dos rectas $OAB$ y $OCD$ que pasan por $O$ cortan al círculo en $A, B, C, D$, donde $A$ y $C$ son los puntos medios de $OB$ y $OD$, respectivamente. Adicionalmente, el ángulo agudo $\theta$ entre las rectas es igual al ángulo agudo con el que cada recta corta al círculo. Encuentre $\cos \theta$ y demuestre que las tangentes al círculo en $A$ y $D$ se cortan sobre la recta $BC$.

74 En un plano se dan dos puntos distintos $A,B$ y dos rectas $a, b$ que pasan por $B$ y $A$ respectivamente $(a \ni B, b \ni A)$ tales que la recta $AB$ está igualmente inclinada respecto a $a$ y $b$. Encuentre el lugar geométrico de los puntos $M$ en el plano tales que el producto de las distancias de $M$ a $A$ y a $a$ sea igual al producto de las distancias de $M$ a $B$ y a $b$ (es decir, $MA \cdot MA' = MB \cdot MB'$, donde $A'$ y $B'$ son los pies de las perpendiculares desde $M$ a $a$ y $b$ respectivamente). Amir

75 Encuentre la suma de las quincuagésimas potencias de todos los lados y diagonales de un polígono regular de $100$ lados inscrito en un círculo de radio $R.$ Amir

27 Sean $a,b$ y $c$ enteros positivos, tales que no hay dos de ellos que tengan un divisor común mayor que $1$. Demuestre que $2abc-ab-bc-ca$ es el mayor entero que no puede expresarse de la forma $xbc+yca+zab$, donde $x,y,z$ son enteros no negativos.

28 Demuestre que si los lados $a, b, c$ de un triángulo satisfacen la ecuación \[2(ab^2 + bc^2 + ca^2) = a^2b + b^2c + c^2a + 3abc,\] entonces el triángulo es equilátero. Demuestre también que la ecuación puede ser satisfecha por números reales positivos que no son los lados de un triángulo. Amir

26 Sean $a, b, c$ enteros positivos que satisfacen $\gcd (a, b) = \gcd (b, c) = \gcd (c, a) = 1$. Demuestre que $2abc-ab-bc-ca$ no puede representarse como $bcx+cay +abz$ con enteros no negativos $x, y, z$. Amir

25 ¿Cuántas permutaciones $a_1, a_2, \ldots, a_n$ de $\{1, 2, \ldots, n \}$ se ordenan de forma creciente mediante a lo sumo tres repeticiones de la siguiente operación: recorrer de izquierda a derecha e intercambiar $a_i$ y $a_{i+1}$ siempre que $a_i > a_{i+1}$ para $i$ desde $1$ hasta $n - 1$? Amir

24 Todo $x$, $0 \leq x \leq 1$, admite una representación única $x = \sum_{j=0}^{\infty} a_j 2^{-j}$, donde todos los $a_j$ pertenecen a $\{0, 1\}$ e infinitos de ellos son $0$. Si $b(0) = \frac{1+c}{2+c}$, $b(1) =\frac{1}{2+c}$, $c > 0$, y \[f(x)=a_0 + \sum_{j=0}^{\infty}b(a_0) \cdots b(a_j) a_{j+1}\] demuestre que $0 < f(x) -x < c$ para todo $x$, $0 < x < 1$. Amir