3 Considere $n$ puntos $A_1, A_2, \ldots, A_n$ en un círculo. ¿De cuántas formas es posible colorear estos puntos con $p$ colores, de tal manera que cada dos puntos vecinos estén coloreados con dos colores diferentes?

5 En un cuadrilátero convexo $ABCD$, la diagonal $BD$ no biseca ni el ángulo $ABC$ ni el ángulo $CDA$. El punto $P$ se encuentra en el interior de $ABCD$ y satisface \[\angle PBC=\angle DBA\quad\text{y}\quad \angle PDC=\angle BDA.\] Demuestre que $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico si y solo si $AP=CP$.

3 Defina un "gancho" como una figura compuesta por seis cuadrados unitarios como se muestra en la imagen a continuación, o cualquiera de las figuras obtenidas aplicando rotaciones y reflexiones a esta figura. [asy] unitsize(0.5 cm); draw((0,0)--(1,0)); draw((0,1)--(1,1)); draw((2,1)--(3,1)); draw((0,2)--(3,2)); draw((0,3)--(3,3)); draw((0,0)--(0,3)); draw((1,0)--(1,3)); draw((2,1)--(2,3)); draw((3,1)--(3,3)); [/asy] Determine todos los rectángulos $m\times n$ que pueden ser cubiertos sin huecos y sin superposiciones con ganchos, tales que: - el rectángulo sea cubierto sin huecos y sin superposiciones, - ninguna parte de un gancho cubra un área fuera del rectángulo. Valentin

2 Encuentre todos los polinomios $f$ con coeficientes reales tales que para todos los números reales $a,b,c$ tales que $ab+bc+ca = 0$ se cumple la siguiente relación: \[ f(a-b) + f(b-c) + f(c-a) = 2f(a+b+c). \] Valentin

2 En cada celda de una cuadrícula de \(n \times n\), se debe escribir uno de los números \(0\), \(1\) o \(2\). Determine todos los enteros positivos \(n\) para los cuales existe una forma de llenar la cuadrícula de \(n \times n\) tal que, al calcular la suma de los números en cada fila y en cada columna, se obtengan los números \(1, 2, \ldots, 2n\) en algún orden.

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$, y sea $M$ el punto medio de $AC$. El punto $C_1$ sobre $AB$ es tal que $CC_1$ es una altura del triángulo $ABC$. Sea $H_1$ la reflexión de $H$ respecto a $AB$. Las proyecciones ortogonales de $C_1$ sobre las rectas $AH_1$, $AC$ y $BC$ son $P$, $Q$ y $R$, respectivamente. Sea $M_1$ el punto tal que el circuncentro del triángulo $PQR$ es el punto medio del segmento $MM_1$. Demuestre que $M_1$ se encuentra sobre el segmento $BH_1$.

3 Una banda de ancho $w$ es el conjunto de todos los puntos que yacen sobre, o entre, dos líneas paralelas a una distancia $w$ una de la otra. Sea $S$ un conjunto de $n$ ($n \ge 3$) puntos en el plano tales que cualesquiera tres puntos diferentes de $S$ pueden ser cubiertos por una banda de ancho $1$. Demuestre que $S$ puede ser cubierto por una banda de ancho $2$.

10 Sean $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ puntos tales que $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico y $ABDE$ es un paralelogramo. Las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $S$ y los rayos $AB$ y $DC$ se cortan en $F$. Demuestre que $\sphericalangle{AFS}=\sphericalangle{ECD}$. (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competencia por Equipos, Problema 6) Martin N.

1 Un entero \(n \geq 2\) se dice que es tuanis si, al sumar el divisor primo más pequeño de \(n\) y el divisor primo más grande de \(n\) (estos divisores pueden ser iguales), se obtiene un resultado impar. Calcule la suma de todos los números tuanis que son menores o iguales a \(2023\).

7 $CL$ es la bisectriz del $\angle C$ del $ABC$ e interseca al circuncírculo en $K$. $I$ es el incentro del $ABC$. $IL=LK$. Demuestre que $CI=IK$. D. Shiryaev