1 Sean $P_1, P_2, \dots, P_n$ puntos situados en un lado del $\triangle ABC$. Demuestre que el conjunto de distancias desde estos puntos a los vértices del triángulo contiene al menos $\sqrt[3]{n}$ elementos distintos.

9 El incírculo del triángulo $ABC$ toca los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en los puntos $D$, $E$ y $F$, respectivamente. Sea $K$ el punto simétrico a $D$ con respecto al incentro. Las rectas $DE$ y $FK$ se cortan en $S$. Demuestre que $AS$ es paralela a $BC$. (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competición por Equipos, Problema 5) Martin N.

4 Encuentre todos los números reales $a$ y $b$ que satisfacen la relación $2(a^2 + 1)(b^2 + 1) = (a + 1)(b + 1)(ab + 1)$

2 Encuentre todos los polinomios $f$ con coeficientes reales tales que para todos los números reales $a,b,c$ tales que $ab+bc+ca = 0$ se cumple la siguiente relación: \[ f(a-b) + f(b-c) + f(c-a) = 2f(a+b+c). \] Valentin

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $D, E$ y $F$ los pies de las alturas desde $A, B$ y $C$, respectivamente. La recta $EF$ y el circuncírculo de $ABC$ se intersecan en $P$, tal que $F$ está entre $E$ y $P$. Las rectas $BP$ y $DF$ se intersecan en $Q$. Demuestre que si $ED=EP$, entonces $CQ$ y $DP$ son paralelas.

1 Encuentre todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos tales que $a!+b$ y $b!+a$ sean ambos potencias de $5$. Nikola Velov, Macedonia del Norte

4 Para cada entero $n$ ($n \ge 2$), sea $f(n)$ la suma de todos los enteros positivos que son a lo sumo $n$ y no son primos relativos con $n$. Demuestre que $f(n+p) \neq f(n)$ para cada $n$ de este tipo y cada primo $p$.

2 Encuentre todos los enteros positivos $x,y,z$ que satisfacen: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2xyz$

3 Se nos da un cuadrilátero cíclico $ABCD$ con un punto $E$ en la diagonal $AC$ tal que $AD=AE$ y $CB=CE$. Sea $M$ el centro del circuncírculo $k$ del triángulo $BDE$. El círculo $k$ corta a la recta $AC$ en los puntos $E$ y $F$. Demuestre que las rectas $FM$, $AD$ y $BC$ concurren en un punto. (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competencia Individual, Problema 3) Martin N.

3 Defina un "gancho" como una figura compuesta por seis cuadrados unitarios como se muestra en la imagen a continuación, o cualquiera de las figuras obtenidas aplicando rotaciones y reflexiones a esta figura. [asy] unitsize(0.5 cm); draw((0,0)--(1,0)); draw((0,1)--(1,1)); draw((2,1)--(3,1)); draw((0,2)--(3,2)); draw((0,3)--(3,3)); draw((0,0)--(0,3)); draw((1,0)--(1,3)); draw((2,1)--(2,3)); draw((3,1)--(3,3)); [/asy] Determine todos los rectángulos $m\times n$ que pueden ser cubiertos sin huecos y sin superposiciones con ganchos, tales que: - el rectángulo sea cubierto sin huecos y sin superposiciones, - ninguna parte de un gancho cubra un área fuera del rectángulo. Valentin