4 Encuentre el menor número natural cuya última cifra es 7, tal que se vuelve 5 veces mayor cuando esta última cifra se traslada al principio del número.

5 En un triángulo $ABC$, los puntos $M$ y $N$ están en los lados $AB$ y $AC$, respectivamente, tales que $MB = BC = CN$. Sean $R$ y $r$ el circunradio y el inradio del triángulo $ABC$, respectivamente. Exprese la razón $MN/BC$ en términos de $R$ y $r$.

2 Demuestre que toda función biyectiva $ f: \mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ puede escribirse de la forma $ f=u+v$ donde $ u,v: \mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ son funciones biyectivas.

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, y escriba $\alpha=\angle DAB$ ; $\beta=\angle ADB$ ; $\gamma=\angle ACB$ ; $\delta= \angle DBC$ ; y $\epsilon=\angle DBA$ . Suponiendo que $\alpha<\pi/2$ , $\beta+\gamma=\pi /2$ , y $\delta+2\epsilon=\pi$ , demuestre que \[(DB+BC)^2=AD^2+AC^2\] [Edición del moderador: También discutido en http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=30569 .]

1 Encuentre todos los números naturales de cuatro dígitos formados por dos dígitos pares y dos dígitos impares que verifiquen que, al multiplicarlos por $2$, se obtienen números de cuatro dígitos con todos sus dígitos pares y, al dividirlos por $2$, se obtienen números naturales de cuatro dígitos con todos sus dígitos impares.

2 Algunas de las personas que asisten a una reunión se saludan entre sí. Sea $n$ el número de personas que saludan a un número impar de personas. Demuestre que $n$ es par.

3 Dos círculos con radios a y b respectivamente se tocan externamente. Sea c el radio de un círculo que toca a estos dos círculos así como a una tangente común a los dos círculos. Demuestre que \[ \frac{1}{\sqrt{c}}=\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\]

3 Para escribir todos los números naturales consecutivos desde $1ab$ hasta $ab2$ inclusive, se han utilizado $1ab1$ dígitos. Determine cuántos dígitos más se necesitan para escribir los números naturales hasta $aab$ inclusive. Dé todas las posibilidades. ($a$ y $b$ representan dígitos)

1 Sea $ ABC$ un triángulo equilátero y $ P$ un punto en su interior. Las distancias desde $ P$ a los lados del triángulo se denotan por $ a^2, b^2, c^2$ respectivamente, donde $ a, b, c > 0$. Encuentre el lugar geométrico de los puntos $ P$ para los cuales $ a, b, c$ pueden ser los lados de un triángulo no degenerado.

2024.11.2 Desde un punto $A$, se traza una secante a un círculo, que lo corta en los puntos $B$ y $C$, con $AB < AC$ y $AB : BC = 2:3$. Las tangentes al círculo trazadas desde el punto $A$ lo tocan en los puntos $M$ y $N$. ¿En qué razón divide la cuerda $MN$ al segmento $BC$?