359 El alumno está practicando la resolución de ecuaciones cuadráticas. Habiendo resuelto la ecuación recurrente, se detiene si esta no tiene dos raíces, o resuelve la siguiente ecuación, con el término independiente igual a la mayor raíz, el coeficiente de $x$ igual a la menor raíz, y el coeficiente de $x^2$ igual a $1$. Demuestre que el proceso no puede ser infinito. ¿Cuál es el número máximo de ecuaciones que tendrá que resolver?

398 Debe pintar todos los lados y diagonales de un $n$-gono regular de tal manera que cada par de segmentos que tengan un punto en común sea pintado con colores diferentes. ¿Cuántos colores necesitará?

522 Dos saltamontes se encuentran en los extremos opuestos del intervalo $[0, 1]$. Se marca un número finito de puntos (mayor que cero) en el intervalo. Un movimiento consiste en que un saltamontes seleccione un punto marcado y salte sobre él hasta el punto equidistante al otro lado. Este punto debe estar dentro del intervalo para que el movimiento sea permitido, pero no tiene por qué estar marcado. ¿Cuál es el menor $n$ tal que, si cada saltamontes realiza $n$ movimientos o menos, entonces terminan sin puntos marcados entre ellos?

Los números $1, 2, 3, ..., 2n$ se dividen en dos grupos iguales. Sean $a_1, a_2, ..., a_n$ los números del primer grupo en orden creciente, y $b_1, b_2, ..., b_n$ los números del segundo grupo en orden decreciente. Demuestre que $$|a_1 - b_1| + |a_2 - b_2| + ... + |a_n - b_n| = n^2$$

El grupo $10A$ tiene $29$ estudiantes que están listados en orden en su lista de deberes. El grupo $10B$ tiene $32$ estudiantes que están listados en orden en su lista de deberes. Cada día hay dos estudiantes de servicio, uno del grupo $10A$ y otro del grupo $10B$. Cada día, solo uno de los estudiantes de servicio cambia y es reemplazado por el siguiente estudiante en la lista correspondiente (cuando el último estudiante de una lista es reemplazado, es sustituido por el primero). En dos días particulares, los mismos dos estudiantes estaban de servicio. ¿Es posible que, comenzando el primero de estos días y terminando el día anterior al segundo, cada par de estudiantes (uno de $10A$ y uno de $10B$) haya compartido el servicio exactamente una vez?

420 El punto $M$ pertenece al lado $[AC]$ del triángulo acutángulo $ABC$. Se circunscriben dos círculos alrededor de los triángulos $ABM$ y $BCM$. ¿Qué posición de $M$ corresponde al área mínima de la intersección de dichos círculos?

389 Dada una sucesión $\{x_n\}$, $$x_1 = x_2 = 1, x_{n+2} = x^2_{n+1} - \frac{x_n}{2}$$ Demuestre que la sucesión tiene límite y encuéntrelo.

483 Una línea poligonal con un número finito de segmentos tiene todos sus vértices sobre una parábola. Dos segmentos adyacentes cualesquiera forman ángulos iguales con la tangente a la parábola en su punto de intersección. Un extremo de la línea poligonal también se encuentra sobre el eje de la parábola. Demuestre que los otros vértices de la línea poligonal están todos en el mismo lado del eje.

523 Encuentre todos los enteros $n$ tales que $\left[\frac{n}{1!}\right] + \left[\frac{n}{2!}\right] + ... + \left[\frac{n}{10!}\right] = 1001$.

388 Los puntos $A, B, C$ y $D$ (de izquierda a derecha) pertenecen a la recta. Demuestre que todo punto $E$, que no pertenece a la recta, satisface: $$|AE| + |ED| + | |AB| - |CD| | > |BE| + |CE|$$