458 El $n$-ágono convexo ($n\ge 5$) se corta a lo largo de todas sus diagonales. Demuestre que existe al menos un par de partes con áreas diferentes.

429 Un cubo con arista de longitud $n$ ($n\ge 3$) consiste en $n^3$ cubos unitarios. Demuestre que es posible escribir $n^3$ enteros diferentes en todos los cubos unitarios para obtener una suma cero de todos los enteros en cada fila paralela a alguna arista.

526 Dado un punto $X$ y $n$ vectores $\overrightarrow{x_i}$ con suma cero en el plano. Para cada permutación de los vectores formamos un conjunto de $n$ puntos, comenzando en $X$ y sumando los vectores en orden. Por ejemplo, con el orden original obtenemos $X_1$ tal que $XX_1 = \overrightarrow{x_1}$, $X_2$ tal que $X_1X_2 = \overrightarrow{x_2}$ y así sucesivamente. Demuestre que para alguna permutación podemos encontrar dos puntos $Y, Z$ con ángulo $\angle YXZ = 60^o$, de tal manera que todos los puntos se encuentren dentro o sobre el triángulo $XYZ$.

359 El alumno está practicando la resolución de ecuaciones cuadráticas. Habiendo resuelto la ecuación recurrente, se detiene si esta no tiene dos raíces, o resuelve la siguiente ecuación, con el término independiente igual a la mayor raíz, el coeficiente de $x$ igual a la menor raíz, y el coeficiente de $x^2$ igual a $1$. Demuestre que el proceso no puede ser infinito. ¿Cuál es el número máximo de ecuaciones que tendrá que resolver?

476 $ABC$ es un triángulo acutángulo. Las tangentes al circuncírculo en $A$ y $C$ se cortan con la tangente en $B$ en $M$ y $N$, respectivamente. La altura desde $B$ corta a $AC$ en $P$. Demuestre que $BP$ biseca el ángulo $MPN$.

482 Sean $m, n, k$ enteros positivos con $m \ge n$ y $1 + 2 + ... + n = mk$. Demuestre que los números $1, 2, ... , n$ pueden dividirse en $k$ grupos de tal manera que la suma de los números en cada grupo sea igual a $m$.

Dos cuadrados iguales, uno con lados rojos y otro con lados azules, forman un octágono en su intersección. Demuestre que la suma de las longitudes de los lados rojos del octágono es igual a la suma de las longitudes de los lados azules del octágono.

425 Dado un hexágono regular. Cada lado se divide en $1000$ segmentos iguales. Todos los puntos de división se conectan con segmentos paralelos a los lados. Pintemos sucesivamente los tríos de nodos sin pintar de la red obtenida, si son vértices de un triángulo equilátero, sin importar su tamaño u orientación. Supongamos que hemos logrado pintar todos los vértices excepto uno. Demuestre que el nodo sin pintar no es un vértice del hexágono.

357 Dos ángulos agudos $a$ y $b$ satisfacen la condición $$\sin^2a+\sin^2b = \sin(a+b)$$ Demuestre que $a + b = \pi /2$.

441 Diez deportistas han participado en un torneo de tenis de mesa (cada pareja se ha enfrentado una sola vez, sin empates). Sea $x_i$ el número de victorias del $i$-ésimo jugador, e $y_i$ el número de sus derrotas. Demuestre que $$x_1^2 + ... + x_{10}^2 = y_1^2 + ... + y_{10}^2$$