El grupo $10A$ tiene $29$ estudiantes que están listados en orden en su lista de deberes. El grupo $10B$ tiene $32$ estudiantes que están listados en orden en su lista de deberes. Cada día hay dos estudiantes de servicio, uno del grupo $10A$ y otro del grupo $10B$. Cada día, solo uno de los estudiantes de servicio cambia y es reemplazado por el siguiente estudiante en la lista correspondiente (cuando el último estudiante de una lista es reemplazado, es sustituido por el primero). En dos días particulares, los mismos dos estudiantes estaban de servicio. ¿Es posible que, comenzando el primero de estos días y terminando el día anterior al segundo, cada par de estudiantes (uno de $10A$ y uno de $10B$) haya compartido el servicio exactamente una vez?