La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 12 de nov. de 2005, 2:17 p. m. • 7 Y Y por Adventure10, sohere, HWenslawski, megarnie, Mango247, OronSH, cubres En una sucesión finita de números reales, la suma de cualesquiera siete términos sucesivos es negativa y la suma de cualesquiera once términos sucesivos es positiva. Determine el número máximo de términos en la sucesión. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 5 de sep. de 2010, 4:34 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sean $x_1, x_2,\cdots, x_n$ $n$ enteros. Sea $n = p + q$, donde $p$ y $q$ son enteros positivos. Para $i = 1, 2, \cdots, n$, defina \[S_i = x_i + x_{i+1} +\cdots + x_{i+p-1} \text{ y } T_i = x_{i+p} + x_{i+p+1} +\cdots + x_{i+n-1}\] (se asume que $x_{i+n }= x_i$ para todo $i$). A continuación, sea $m(a, b)$ el número de índices $i$ para los cuales $S_i$ deja el resto $a$ y $T_i$ deja el resto $b$ al dividir por $3$, donde $a, b \in \{0, 1, 2\}$. Demuestre que $m(1, 2)$ y $m(2, 1)$ dejan el mismo resto al ser divididos por $3.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Photaesthesia 147 publicaciones Photaesthesia #1 h 29 de nov. de 2023, 12:13 a. m. • 2 Y Y por David-Vieta, axsolers_24 Sea $P$ un $99$-gono regular. Asigne enteros entre $1$ y $99$ a los vértices de $P$ de tal manera que cada entero aparezca exactamente una vez. (Si dos asignaciones coinciden mediante una rotación, trátelas como la misma). Una operación consiste en intercambiar los enteros asignados a un par de vértices adyacentes de $P$. Encuentre el entero $n$ más pequeño tal que se pueda obtener cualquier otra asignación a partir de una dada con no más de $n$ operaciones. Propuesto por Zhenhua Qu Esta publicación ha sido editada 8 veces. Última edición por Photaesthesia, 12 de jul. de 2024, 8:20 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. LoloChen 489 publicaciones LoloChen #1 h 29 de nov. de 2023, 12:06 a. m. • 3 Y Y por GeoKing, Rounak_iitr, axsolers_24 En un $\triangle {ABC}$ acutángulo, ${K}$ está en la extensión del segmento $BC$ . $P, Q$ son dos puntos tales que $KP \parallel AB, BK=BP$ y $KQ\parallel AC, CK=CQ$ . El circuncírculo del $\triangle KPQ$ interseca a $AK$ nuevamente en ${T}$ . Demuestre que: (1) $\angle BTC+\angle APB=\angle CQA$ . (2) $AP \cdot BT \cdot CQ=AQ \cdot CT \cdot BP$ . Propuesto por Yijie He y Yijuan Yao Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por LoloChen, 13 de junio de 2024, 8:03 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Photaesthesia 147 publicaciones Photaesthesia #1 h 29 de nov. de 2023, 12:04 a. m. Y por Sean $a_1, a_2, \ldots, a_{2023}$ números reales no negativos tales que $a_1 + a_2 + \ldots + a_{2023} = 100$. Sea $A = \left \{ (i,j) \mid 1 \leqslant i \leqslant j \leqslant 2023, \, a_ia_j \geqslant 1 \right\}$. Demuestre que $|A| \leqslant 5050$ y determine cuándo se cumple la igualdad. Propuesto por Yunhao Fu Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por Photaesthesia, 14 de ene. de 2024, 11:46 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Photaesthesia 147 publicaciones Photaesthesia #1 h 28 de nov. de 2023, 12:07 a. m. • 1 Y Y por David-Vieta Sea $p \geqslant 5$ un número primo y $S = \left\{ 1, 2, \ldots, p \right\}$. Defina $r(x,y)$ de la siguiente manera: \[ r(x,y) = \begin{cases} y - x & y \geqslant x \\ y - x + p & y < x \end{cases}.\] Para un subconjunto propio no vacío $A$ de $S$, sea $$f(A) = \sum_{x \in A} \sum_{y \in A} \left( r(x,y) \right)^2.$$ Un subconjunto bueno de $S$ es un subconjunto propio no vacío $A$ que satisface que para todo subconjunto $B \subseteq S$ del mismo tamaño que $A$, $f(B) \geqslant f(A)$. Encuentre el entero más grande $L$ tal que existen subconjuntos buenos distintos $A_1 \subseteq A_2 \subseteq \ldots \subseteq A_L$. Propuesto por Bin Wang Esta publicación ha sido editada 7 veces. Última edición por Photaesthesia, 13 de julio de 2024, 3:24 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. sqing 46141 publicaciones sqing #1 h 28 de nov. de 2023, 12:15 a. m. • 3 Y Y por David-Vieta, Rounak_iitr, axsolers_24 Encuentre el número real $c$ más grande tal que $$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}(n-|i-j|)x_ix_j \geq c\sum_{j=1}^{n}x^2_i$$ para cualquier entero positivo $n$ y cualesquiera números reales $x_1,x_2,\dots,x_n.$ Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por sqing, 28 de nov. de 2023, 12:20 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Photaesthesia 147 publicaciones Photaesthesia #1 h 28 de nov. de 2023, 12:25 a. m. • 1 Y Y por AlexCenteno2007 Encuentre el $\lambda \in \mathbb{R}$ más pequeño tal que para todo $n \in \mathbb{N}_+$ , existen $x_1, x_2, \ldots, x_n$ que satisfacen $n = x_1 x_2 \ldots x_{2023}$ , donde $x_i$ es un número primo o un entero positivo que no excede $n^\lambda$ para todo $i \in \left\{ 1,2, \ldots, 2023 \right\}$ . Propuesto por Yinghua Ai Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por Photaesthesia, 13 de jul. de 2024, 3:24 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 12 de nov. de 2005, 2:17 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 En el interior de un cuadrado $ABCD$ construimos los triángulos equiláteros $ABK, BCL, CDM, DAN.$ Demuestre que los puntos medios de los cuatro segmentos $KL, LM, MN, NK$ y los puntos medios de los ocho segmentos $AK, BK, BL, CL, CM, DM, DN, AN$ son los 12 vértices de un dodecágono regular. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 20 de sep. de 2010, 2:53 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $n$ un entero positivo. ¿Cuántas soluciones enteras $(i, j, k, l) , \ 1 \leq i, j, k, l \leq n$ tiene el siguiente sistema de desigualdades: \[1 \leq -j + k + l \leq n\] \[1 \leq i - k + l \leq n\] \[1 \leq i - j + l \leq n\] \[1 \leq i + j - k \leq n \ ?\] Z K Y