La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. FelixD 588 publicaciones FelixD #1 h 1 de octubre de 2009, 4:44 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Coloreamos cada casilla de un tablero de $ 2009$ x $ 2009$ con uno de $ n$ colores (no es necesario utilizar todos los colores). Un color se denomina conexo si existe solo una casilla de ese color o si cualesquiera dos casillas del mismo color pueden alcanzarse una a la otra mediante una secuencia de movimientos de una reina de ajedrez sin paradas intermedias en casillas que tengan otro color (una reina de ajedrez se mueve horizontal, vertical o diagonalmente). Encuentre el máximo $ n$ tal que, para toda coloración del tablero, al menos un color presente en el tablero sea conexo. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. FelixD 588 publicaciones FelixD #1 h 1 de octubre de 2009, 4:47 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea $ ABCD$ un paralelogramo con $ \angle BAD = 60$ y denotemos por $ E$ la intersección de sus diagonales. El circuncírculo del triángulo $ ACD$ corta a la recta $ BA$ en $ K \ne A$, a la recta $ BD$ en $ P \ne D$ y a la recta $ BC$ en $ L \ne C$. La recta $ EP$ corta al circuncírculo del triángulo $ CEL$ en los puntos $ E$ y $ M$. Demuestre que los triángulos $ KLM$ y $ CAP$ son congruentes. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 12 de nov. de 2005, 2:17 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 En el interior de un cuadrado $ABCD$ construimos los triángulos equiláteros $ABK, BCL, CDM, DAN.$ Demuestre que los puntos medios de los cuatro segmentos $KL, LM, MN, NK$ y los puntos medios de los ocho segmentos $AK, BK, BL, CL, CM, DM, DN, AN$ son los 12 vértices de un dodecágono regular. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 12 de nov. de 2005, 2:12 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, megarnie, Mango247 Sean $a,b,A,B$ números reales dados. Consideramos la función definida por \[ f(x) = 1 - a \cdot \cos(x) - b \cdot \sin(x) - A \cdot \cos(2x) - B \cdot \sin(2x). \] Demuestre que si para cualquier número real $x$ tenemos $f(x) \geq 0$, entonces $a^2 + b^2 \leq 2$ y $A^2 + B^2 \leq 1.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. BR1F1SZ 779 publicaciones BR1F1SZ #1 h 25 de enero de 2025, 2:58 PM Y por Un náufrago está construyendo una balsa rectangular $ABCD$. Fija un mástil perpendicular a la balsa, con cuerdas que pasan desde la parte superior del mástil (punto $S$ en la figura) hasta las cuatro esquinas de la balsa. La cuerda $SA$ mide $8$ metros, la cuerda $SB$ mide $2$ metros y la cuerda $SC$ mide $14$ metros. Calcule la longitud de la cuerda $SD$. [asy] size(250); // Coordenadas para el paralelogramo ABCD pair A = (0, 0); pair B = (8, 0); pair C = (10, 5); pair D = (2, 5); // Posición del punto S (fuera del paralelogramo) pair S = (5, 8); pair T = (5, 3); // Dibujar el paralelogramo ABCD filldraw(A--B--C--D--cycle, lightgray, black); // Dibujar las cuerdas desde el punto S a cada esquina del paralelogramo draw(S--A, blue); draw(S--B, blue); draw(S--C, blue); draw(S--D, blue); draw(S--T, black); // Marcar los puntos dot(A); dot(B); dot(C); dot(D); dot(S); dot(T); // Etiquetar los puntos label("A", A, SW); label("B", B, SE); label("C", C, NE); label("D", D, NW); label("S", S, N); [/asy] Esta publicación ha sido editada 4 veces. Última edición por BR1F1SZ, 25 de enero de 2025, 4:14 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 20 de sep. de 2010, 2:53 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $n$ un entero positivo. ¿Cuántas soluciones enteras $(i, j, k, l) , \ 1 \leq i, j, k, l \leq n$ tiene el siguiente sistema de desigualdades: \[1 \leq -j + k + l \leq n\] \[1 \leq i - k + l \leq n\] \[1 \leq i - j + l \leq n\] \[1 \leq i + j - k \leq n \ ?\] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 20 de sep. de 2010, 2:38 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Existen $2^n$ palabras de longitud $n$ sobre el alfabeto $\{0, 1\}$. Demuestre que el siguiente algoritmo genera la sucesión $w_0, w_1, \ldots, w_{2^n-1}$ de todas estas palabras, tal que cualesquiera dos palabras consecutivas difieren exactamente en un dígito. (1) $w_0 = 00 \ldots 0$ ($n$ ceros). (2) Suponga que $w_{m-1} = a_1a_2 \ldots a_n,\quad a_i \in \{0, 1\}$. Sea $e(m)$ el exponente de $2$ en la representación de $m$ como producto de primos, y sea $j = 1 + e(m)$. Reemplace el dígito $a_j$ en la palabra $w_{m-1}$ por $1 - a_j$. La palabra obtenida es $w_m$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 20 de sep. de 2010, 2:35 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Describa todas las figuras cerradas y acotadas $\Phi$ en el plano, tales que cualesquiera dos puntos de las mismas puedan ser conectados por un semicírculo contenido en $\Phi$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33697 publicaciones parmenides51 #1 h 16 de enero de 2026, 5:29 PM Y por El cuadrilátero $ABCD$ en la siguiente figura está dividido en $7$ triángulos y $1$ cuadrilátero. El número dentro de cada figura indica su perímetro. Además, los dos lados marcados con $x$ tienen la misma longitud. Calcule el perímetro del cuadrilátero $ABCD$ . https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/d/3/e747626df18f396048bc50d4d7ae09631bf971.jpg Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 16 de enero de 2026, 5:30 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Sadigly 247 publicaciones Sadigly #1 h 8 de mayo de 2025, 10:05 a. m. • 1 Y Y por Just1 Alice crea una sucesión: Para los primeros $2025$ términos de esta sucesión, ella escribe una permutación aleatoria de $\{1;2;3;...;2025\}$. Para definir los términos siguientes, ella hace lo siguiente: toma los últimos $2025$ términos de la sucesión y calcula su mediana. ¿Cuántos valores podría tomar el término número $3000$ de esta sucesión? (Nota: Para encontrar la mediana de $2025$ números, se escriben en orden creciente y se toma el número que se encuentra en el medio). Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Sadigly, 8 de mayo de 2025, 12:25 p. m. Razón: Error de traducción Z K Y