La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. falantrng 252 publicaciones falantrng #1 h 8 de julio de 2024, 7:49 a. m. • 1 Y Y por GeoKing Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes $0$ o $1$ y grado $2023$. Si $P(0)=1$, demuestre que toda raíz real de este polinomio es menor que $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$. Z K Y

Tres circunferencias son tangentes entre sí, como se muestra en la figura. La región del círculo exterior que no está cubierta por los dos círculos interiores tiene un área igual a $2 \pi$. Determine la longitud del segmento $PQ$.

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. FelixD 588 publicaciones FelixD #1 h 1 de octubre de 2009, 4:52 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Encuentre todos los pares $(m, n)$ de enteros que satisfacen la ecuación \[ (m + n)^4 = m^2n^2 + m^2 + n^2 + 6mn.\] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 5 de sep. de 2010, 5:28 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Una ciudad tiene una red de carreteras que consiste enteramente en calles de sentido único que se utilizan para rutas de autobús. A lo largo de estas rutas, se han establecido paradas de autobús. Si las señales de sentido único permiten viajar desde la parada de autobús $X$ hasta la parada de autobús $Y \neq X$, entonces diremos que $Y$ puede ser alcanzada desde $X$. Usaremos la frase $Y$ viene después de $X$ cuando deseemos expresar que toda parada de autobús desde la cual se puede alcanzar la parada de autobús $X$ es una parada de autobús desde la cual se puede alcanzar la parada de autobús $Y$, y toda parada de autobús que puede ser alcanzada desde $Y$ también puede ser alcanzada desde $X$. Un visitante de esta ciudad descubre que si $X$ e $Y$ son dos paradas de autobús diferentes cualesquiera, entonces las dos oraciones "$Y$ puede ser alcanzada desde $X$" y "$Y$ viene después de $X$" tienen exactamente el mismo significado en esta ciudad. Sean $A$ y $B$ dos paradas de autobús. Demuestre que de las siguientes dos afirmaciones, exactamente una es verdadera: (i) $B$ puede ser alcanzada desde $A$; (ii) $A$ puede ser alcanzada desde $B.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33697 publicaciones parmenides51 #1 h 24 de mar. de 2024, 4:52 a. m. • 1 Y Y por mxsail En una línea recta $\ell$ hay cuatro puntos, $A$ , $B$ , $C$ y $D$ en ese orden, tales que $AB=BC=CD$ . Se elige un punto $E$ fuera de la línea recta de modo que, al trazar los segmentos $EB$ y $EC$ , se forme un triángulo equilátero $EBC$ . Se trazan los segmentos $EA$ y $ED$ , y se elige un punto $F$ de modo que, al trazar los segmentos $FA$ y $FE$ , se forme un triángulo equilátero $FAE$ fuera del triángulo $EAD$ . Finalmente, se trazan las rectas $EB$ y $FA$ , las cuales se intersecan en el punto $G$ . Si el área del triángulo $EBD$ es $10$ , calcule el área del triángulo $EFG$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. FelixD 588 publicaciones FelixD #1 h 1 de octubre de 2009, 4:44 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Coloreamos cada casilla de un tablero de $ 2009$ x $ 2009$ con uno de $ n$ colores (no es necesario utilizar todos los colores). Un color se denomina conexo si existe solo una casilla de ese color o si cualesquiera dos casillas del mismo color pueden alcanzarse una a la otra mediante una secuencia de movimientos de una reina de ajedrez sin paradas intermedias en casillas que tengan otro color (una reina de ajedrez se mueve horizontal, vertical o diagonalmente). Encuentre el máximo $ n$ tal que, para toda coloración del tablero, al menos un color presente en el tablero sea conexo. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 20 de sep. de 2010, 2:32 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Un punto de red en el plano es un punto cuyas dos coordenadas son números enteros. Cada punto de red tiene cuatro puntos vecinos: superior, inferior, izquierdo y derecho. Sea $k$ un círculo con radio $r \geq 2$, que no pasa por ningún punto de red. Un punto de frontera interior es un punto de red que se encuentra dentro del círculo $k$ y que tiene un punto vecino que se encuentra fuera de $k$. De manera similar, un punto de frontera exterior es un punto de red que se encuentra fuera del círculo $k$ y que tiene un punto vecino que se encuentra dentro de $k$. Demuestre que hay cuatro puntos de frontera exterior más que puntos de frontera interior. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 20 de sep. de 2010, 3:08 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea $E$ un conjunto finito de puntos tal que $E$ no está contenido en un plano y no hay tres puntos de $E$ que sean colineales. Demuestre que al menos una de las siguientes alternativas se cumple: (i) $E$ contiene cinco puntos que son vértices de una pirámide convexa que no tiene otros puntos en común con $E$; (ii) algún plano contiene exactamente tres puntos de $E.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. FelixD 588 publicaciones FelixD #1 h 1 de oct. de 2009, 4:40 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Los números $ 0$ , $ 1$ , $ \dots$ , $ n$ ( $ n \ge 2$ ) están escritos en una pizarra. En cada paso borramos un entero que sea la media aritmética de dos números diferentes que aún permanezcan en la pizarra. Realizamos dichos pasos hasta que no se pueda borrar ningún otro entero. Sea $ g(n)$ el menor número posible de enteros que quedan en la pizarra al final. Encuentre $ g(n)$ para todo $ n$ . Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. FelixD 588 publicaciones FelixD #1 h 1 de octubre de 2009, 4:34 AM • 3 Y Y por Adventure10, Mango247 y otro usuario más. Sean $ x$ , $ y$ , $ z$ números reales que satisfacen $ x^2+y^2+z^2+9=4(x+y+z)$ . Demuestre que \[ x^4+y^4+z^4+16(x^2+y^2+z^2) \ge 8(x^3+y^3+z^3)+27\] y determine cuándo se cumple la igualdad. Z K Y