Se da una cuadrícula de $8\times 8$, cuyas celdas son todas blancas. Layla pinta algunas $k$ celdas de negro y luego Diletta elige repetidamente cualquier subcuadrado de $2\times 2$, y si hay $3$ celdas negras en él, entonces Diletta puede pintar la cuarta celda de negro. ¿Cuál es el menor $k$ de cuadrados iniciales que Layla puede pintar de negro para que Diletta pueda lograr pintar todas las celdas de negro?

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33697 publicaciones parmenides51 #1 h 11 de enero de 2026, 1:11 PM Y por Un cuadrilátero $T$ con longitudes de lado $a, b, c$ y $d$ está inscrito en un círculo, y otro círculo está inscrito en $T$, como en la figura de abajo. Encuentre el área de $T$ (como una función de $a, b, c$ y $d$). https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/7/2/344cb893d5e3001b50e26fd117fc1470c055c7.png Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por parmenides51, 11 de enero de 2026, 1:13 PM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 5 de sep. de 2010, 8:49 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Construya un triángulo $ABC$ dado su lado $a = BC$ , su circunradio $R \ (2R \geq a)$ , y la diferencia $\frac{1}{k} = \frac{1}{c}-\frac{1}{b}$ , donde $c = AB$ y $b = AC.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33697 publicaciones parmenides51 #1 h 11 de enero de 2026, 1:08 PM Y por Calcule el valor de la expresión: $$\sqrt{1-\frac12 \cdot \sqrt{1\cdot 3}}+\sqrt{2-\frac12 \cdot \sqrt{3\cdot 5}}+\sqrt{3-\frac12 \cdot \sqrt{5\cdot 7}}+...+\sqrt{40-\frac12 \cdot \sqrt{79\cdot 81}}$$ Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 11 de enero de 2026, 1:11 PM Z K Y

Sea $A$ un conjunto de $2n$ puntos en el plano tal que no hay tres puntos colineales. Demuestre que para cualesquiera dos puntos distintos $a,b\in A$ existe una recta que divide a $A$ en dos subconjuntos, cada uno conteniendo $n$ puntos, y tal que $a$ y $b$ se encuentran en lados opuestos de la recta.

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 5 de sep. de 2010, 7:47 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Una pantalla de lámpara es parte de la superficie de un cono circular recto cuyo eje es vertical. Sus bordes superior e inferior son dos círculos horizontales. Se seleccionan dos puntos en el círculo superior más pequeño y cuatro puntos en el círculo inferior más grande. Cada uno de estos seis puntos tiene tres de los otros como sus vecinos más cercanos a una distancia $d$ de él. Por distancia se entiende la distancia más corta medida sobre la superficie curva de la pantalla de la lámpara. Demuestre que el área de la pantalla de la lámpara es $d^2(2\theta + \sqrt 3)$ donde $\cot \frac {\theta}{2} = \frac{3}{\theta}.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 5 de sep. de 2010, 6:37 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 En un sistema de coordenadas cartesiano, el círculo $C_1$ tiene centro $O_1(-2, 0)$ y radio $3$. Denotemos el punto $(1, 0)$ por $A$ y el origen por $O$. Demuestre que existe una constante $c > 0$ tal que para todo $X$ que sea exterior a $C_1$, \[OX- 1 \geq c \min\{AX,AX^2\}.\] Encuentre el mayor valor posible de $c.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. matinyousefi 499 publicaciones matinyousefi #1 h 24 de abr. de 2020, 3:22 a. m. Y por $1399$ puntos y algunas cuerdas entre ellos es dado. $a)$ En cada paso podemos tomar dos cuerdas $RS,PQ$ con un punto común distinto de $P,Q,R,S$ y borrar exactamente una de $RS,PQ$ y dibujar $PS,PR,QS,QR$ sea $s$ el mínimo de cuerdas después de algunos pasos. Encuentre el máximo de $s$ sobre todas las posiciones iniciales. $b)$ En cada paso podemos tomar dos cuerdas $RS,PQ$ con un punto común distinto de $P,Q,R,S$ y borrar ambas $RS,PQ$ y dibujar $PS,PR,QS,QR$ sea $s$ el mínimo de cuerdas después de algunos pasos. Encuentre el máximo de $s$ sobre todas las posiciones iniciales. Propuesto por Afrouz Jabalameli, Abolfazl Asadi Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por matinyousefi, 26 de abr. de 2020, 3:05 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. matinyousefi 499 publicaciones matinyousefi #1 h 22 de abril de 2020, 1:53 PM Y Morteza y Amir Reza juegan al siguiente juego. Primero, cada uno de ellos lanza independientemente un dado $100$ veces seguidas para construir un número de $100$ dígitos con los dígitos $1,2,3,4,5,6$; luego, gritan simultáneamente un número del $1$ al $100$ y anotan el dígito correspondiente al número que la otra persona gritó en su número de $100$ dígitos. Si ambos jugadores anotan un $6$, ambos ganan; de lo contrario, ambos pierden. ¿Tienen una estrategia con una probabilidad de ganar mayor a $\frac{1}{36}$? Propuesto por Morteza Saghafian Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por matinyousefi, 26 de abril de 2020, 3:03 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 6 de sep. de 2010, 3:24 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $r > 1$ un número real, y sea $n$ el entero más grande menor que $r$. Considere un número real arbitrario $x$ con $0 \leq x \leq \frac{n}{r-1}.$ Por una expansión en base $r$ de $x$ entendemos una representación de $x$ de la forma \[x=\frac{a_1}{r} + \frac{a_2}{r^2}+\frac{a_3}{r^3}+\cdots\] donde los $a_i$ son enteros con $0 \leq a_i < r.$ Puede asumir sin demostración que todo número $x$ con $0 \leq x \leq \frac{n}{r-1}$ tiene al menos una expansión en base $r$. Demuestre que si $r$ no es un entero, entonces existe un número $p$, $0 \leq p \leq \frac{n}{r-1}$, que tiene infinitas expansiones en base $r$ distintas. Adjuntos: Z K Y