La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 5 de sep. de 2010, 9:26 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 La recta perpendicular trazada desde el centro del circuncírculo a la bisectriz del ángulo $C$ en un triángulo $ABC$ divide el segmento de la bisectriz dentro de $ABC$ en dos segmentos con una razón de longitudes $\lambda$. Dados $b = AC$ y $a = BC$, encuentre la longitud del lado $c.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 6 de sep. de 2010, 2:45 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Las bisectrices de los ángulos $B,C$ de un triángulo $ABC$ intersecan los lados opuestos en $B', C'$ respectivamente. Demuestre que la línea recta $B'C'$ interseca el círculo inscrito en dos puntos diferentes. Adjuntos: Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 6 de sep. de 2010, 2:41 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dos cuerpos en movimiento $M_1,M_2$ se desplazan uniformemente sobre dos líneas rectas coplanarias. Describa la unión de todas las líneas rectas $M_1M_2.$ Adjuntos: Z K Y

Sea $A$ un conjunto de $2n$ puntos en el plano tal que no hay tres puntos colineales. Demuestre que para cualesquiera dos puntos distintos $a,b\in A$ existe una recta que divide a $A$ en dos subconjuntos, cada uno conteniendo $n$ puntos, y tal que $a$ y $b$ se encuentran en lados opuestos de la recta.

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 5 de sep. de 2010, 8:41 a. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247 y otro usuario más. En un torneo de ajedrez hay $n \geq 5$ jugadores, y ya han jugado $\left[ \frac{n^2}{4} \right] +2$ partidas (cada par ha jugado entre sí como máximo una vez). (a) Demuestre que existen cinco jugadores $a, b, c, d, e$ para los cuales los pares $ab, ac, bc, ad, ae, de$ ya han jugado. (b) ¿Es la afirmación también válida para $\left[ \frac{n^2}{4} \right] +1$ partidas jugadas? Realice la demostración por inducción sobre $n.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 5 de sep. de 2010, 7:55 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Demuestre que si la ecuación $x^4 + ax^3 + bx + c = 0$ tiene todas sus raíces reales, entonces $ab \leq 0.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 5 de sep. de 2010, 8:49 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Construya un triángulo $ABC$ dado su lado $a = BC$ , su circunradio $R \ (2R \geq a)$ , y la diferencia $\frac{1}{k} = \frac{1}{c}-\frac{1}{b}$ , donde $c = AB$ y $b = AC.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 5 de sep. de 2010, 9:27 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $n$ puntos dados arbitrariamente en el plano, sin que tres de ellos sean colineales. Dibujemos segmentos entre pares de estos puntos. ¿Cuál es el número mínimo de segmentos que pueden colorearse de rojo de tal manera que, entre cualesquiera cuatro puntos, tres de ellos estén conectados por segmentos que formen un triángulo rojo? Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 6 de sep. de 2010, 4:03 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dadas dos sucesiones de números positivos $\{a_k\}$ y $\{b_k\} \ (k \in \mathbb N)$ tales que: (i) $a_k < b_k,$ (ii) $\cos a_kx + \cos b_kx \geq -\frac 1k $ para todo $k \in \mathbb N$ y $x \in \mathbb R,$ demuestre la existencia de $\lim_{k \to \infty} \frac{a_k}{b_k}$ y encuentre este límite. Adjuntos: Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 6 de sep. de 2010, 3:46 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Para cada número natural $k, k \geq 2$, corresponde una sucesión $a_n(k)$ de acuerdo con la siguiente regla: \[a_0 = k, \qquad a_n = \tau(a_{n-1}) \quad \forall n \geq 1,\] en la cual $\tau(a)$ es el número de divisores distintos de $a$. Encuentre todos los $k$ para los cuales la sucesión $a_n(k)$ no contiene el cuadrado de un entero. Z K Y