La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 5 de sep. de 2010, 6:37 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 En un sistema de coordenadas cartesiano, el círculo $C_1$ tiene centro $O_1(-2, 0)$ y radio $3$. Denotemos el punto $(1, 0)$ por $A$ y el origen por $O$. Demuestre que existe una constante $c > 0$ tal que para todo $X$ que sea exterior a $C_1$, \[OX- 1 \geq c \min\{AX,AX^2\}.\] Encuentre el mayor valor posible de $c.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 5 de sep. de 2010, 7:58 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Los números $d(n,m)$ , con $m, n$ enteros, $0 \leq m \leq n$ , se definen mediante $d(n, 0) = d(n, n) = 0$ para todo $n \geq 0$ y \[md(n,m) = md(n-1,m)+(2n-m)d(n-1,m-1) \text{ para todo } 0 < m < n.\] Demuestre que todos los $d(n,m)$ son enteros. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 5 de sep. de 2010, 7:47 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Una pantalla de lámpara es parte de la superficie de un cono circular recto cuyo eje es vertical. Sus bordes superior e inferior son dos círculos horizontales. Se seleccionan dos puntos en el círculo superior más pequeño y cuatro puntos en el círculo inferior más grande. Cada uno de estos seis puntos tiene tres de los otros como sus vecinos más cercanos a una distancia $d$ de él. Por distancia se entiende la distancia más corta medida sobre la superficie curva de la pantalla de la lámpara. Demuestre que el área de la pantalla de la lámpara es $d^2(2\theta + \sqrt 3)$ donde $\cot \frac {\theta}{2} = \frac{3}{\theta}.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33697 publicaciones parmenides51 #1 h 11 de enero de 2026, 1:05 PM Y por Hay $n$ personas sentadas en un círculo, y cada una de ellas es un mentiroso o alguien que dice la verdad. El mentiroso siempre miente, y quien dice la verdad siempre dice la verdad. Cada persona sabe exactamente quién está mintiendo y quién está diciendo la verdad. Cada persona dice que la persona sentada dos lugares a su izquierda (esto significa al lado de la persona sentada a su lado), es alguien que dice la verdad. Se sabe que en este círculo, hay al menos un mentiroso y al menos una persona que dice la verdad. (a) ¿Es posible que $n = 2024$ ? (b) ¿Es posible que $n = 2025$ ? Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por parmenides51, 11 de enero de 2026, 1:12 PM Z K Y

Sea $A$ un conjunto de $2n$ puntos en el plano tal que no hay tres puntos colineales. Demuestre que para cualesquiera dos puntos distintos $a,b\in A$ existe una recta que divide a $A$ en dos subconjuntos, cada uno conteniendo $n$ puntos, y tal que $a$ y $b$ se encuentran en lados opuestos de la recta.

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. jgnr 1343 publicaciones jgnr #1 h 15 de dic. de 2008, 7:56 p. m. • 2 Y Y por ahmedosama, Adventure10 Sean $ m,n$ enteros tales que $ 0\le m\le 2n$ . Demuestre que el número $ 2^{2n + 2} + 2^{m + 2} + 1$ es un cuadrado perfecto si y solo si $ m = n$ . Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por jgnr, 16 de dic. de 2008, 5:29 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 6 de sep. de 2010, 3:24 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $r > 1$ un número real, y sea $n$ el entero más grande menor que $r$. Considere un número real arbitrario $x$ con $0 \leq x \leq \frac{n}{r-1}.$ Por una expansión en base $r$ de $x$ entendemos una representación de $x$ de la forma \[x=\frac{a_1}{r} + \frac{a_2}{r^2}+\frac{a_3}{r^3}+\cdots\] donde los $a_i$ son enteros con $0 \leq a_i < r.$ Puede asumir sin demostración que todo número $x$ con $0 \leq x \leq \frac{n}{r-1}$ tiene al menos una expansión en base $r$. Demuestre que si $r$ no es un entero, entonces existe un número $p$, $0 \leq p \leq \frac{n}{r-1}$, que tiene infinitas expansiones en base $r$ distintas. Adjuntos: Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. jgnr 1343 publicaciones jgnr #1 h 15 de dic. de 2008, 7:56 PM • 2 Y Y por sestra, Adventure10 Los 40 cuadrados unitarios de la tabla de 9 9 (ver abajo) están etiquetados. Una fila horizontal o vertical de 9 cuadrados unitarios es buena si tiene más cuadrados unitarios etiquetados que no etiquetados. ¿Cuántas filas buenas (horizontales y verticales) podría tener la tabla en total? Adjuntos: Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por jgnr, 16 de dic. de 2008, 5:28 PM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 6 de sep. de 2010, 4:06 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Encuentre el menor entero positivo $k$ tal que para todo $a \in [0, 1]$ y todo entero positivo $n,$ \[a^k(1 - a)^n < \frac{1}{(n+1)^3}.\] Adjuntos: Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 6 de sep. de 2010, 4:03 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dadas dos sucesiones de números positivos $\{a_k\}$ y $\{b_k\} \ (k \in \mathbb N)$ tales que: (i) $a_k < b_k,$ (ii) $\cos a_kx + \cos b_kx \geq -\frac 1k $ para todo $k \in \mathbb N$ y $x \in \mathbb R,$ demuestre la existencia de $\lim_{k \to \infty} \frac{a_k}{b_k}$ y encuentre este límite. Adjuntos: Z K Y