400 El coeficiente principal $a$ en el polinomio de segundo grado $$P(x) = ax^2 + bx + c$$ es mayor que $100$. ¿Cuál es el número máximo de valores enteros de $x$ tales que $|P(x)| < 50$?

Dos cuadrados iguales, uno con lados rojos y otro con lados azules, forman un octágono en su intersección. Demuestre que la suma de las longitudes de los lados rojos del octágono es igual a la suma de las longitudes de los lados azules del octágono.

480 Encuentre el valor mínimo de $\frac{xy}{z} + \frac{yz}{x} +\frac{ zx}{y}$ para números reales positivos $x, y, z$ con $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.

420 El punto $M$ pertenece al lado $[AC]$ del triángulo acutángulo $ABC$. Se circunscriben dos círculos alrededor de los triángulos $ABM$ y $BCM$. ¿Qué posición de $M$ corresponde al área mínima de la intersección de dichos círculos?

483 Una línea poligonal con un número finito de segmentos tiene todos sus vértices sobre una parábola. Dos segmentos adyacentes cualesquiera forman ángulos iguales con la tangente a la parábola en su punto de intersección. Un extremo de la línea poligonal también se encuentra sobre el eje de la parábola. Demuestre que los otros vértices de la línea poligonal están todos en el mismo lado del eje.

418 El polinomio cuadrático $x^2+ax+b+1$ tiene raíces naturales. Demuestre que $(a^2+b^2)$ es un número compuesto.

424 Dos circunferencias, con una distancia $d$ entre sus centros, se cortan en los puntos $P$ y $Q$. Se trazan dos rectas que pasan por el punto $A$ en la primera circunferencia ($Q\ne A\ne P$) y por los puntos $P$ y $Q$. Estas rectas cortan a la segunda circunferencia en los puntos $B$ y $C$. a) Demuestre que el radio del círculo circunscrito al triángulo $ABC$ es igual a $d$. b) Describa el conjunto de los centros del nuevo círculo si el punto $A$ se mueve a lo largo de toda la primera circunferencia.

389 Dada una sucesión $\{x_n\}$, $$x_1 = x_2 = 1, x_{n+2} = x^2_{n+1} - \frac{x_n}{2}$$ Demuestre que la sucesión tiene límite y encuéntrelo.

390 Las casillas blancas de un tablero de $1983\times 1984$ están llenas con $+1$ o $-1$. Para cada casilla negra, el producto de los números vecinos es $+1$. Demuestre que todos los números son $+1$.

377 números naturales $n$ ($n>3$) están escritos en una circunferencia. La relación de la suma de dos vecinos con el número mismo es un número entero. Demuestre que la suma de esas relaciones es a) no menor que $2n$ b) menor que $3n$