La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de agosto de 2010, 4:43 AM • 3 Y Y por Adventure10, Mango247 y otro usuario. Dados $n$ números reales $a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n$ , defina \[M_1=\frac 1n \sum_{i=1}^{n} a_i , \quad M_2=\frac{2}{n(n-1)} \sum_{1 \leq i<j \leq n} a_ia_j, \quad Q=\sqrt{M_1^2-M_2}\] Demuestre que \[a_1 \leq M_1 - Q \leq M_1 + Q \leq a_n\] y que la igualdad se cumple si y solo si $a_1 = a_2 = \cdots = a_n.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 4:55 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $C_1, C_2$ círculos de radio $1/2$ tangentes entre sí y ambos tangentes internamente a un círculo $C$ de radio $1$. Los círculos $C_1$ y $C_2$ son los dos primeros términos de una sucesión infinita de círculos distintos $C_n$ definidos de la siguiente manera: $C_{n+2}$ es tangente externamente a $C_n$ y $C_{n+1}$ e internamente a $C$. Demuestre que el radio de cada $C_n$ es el recíproco de un entero. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 5:03 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Resuelva el sistema de ecuaciones \[\tan x_1 +\cot x_1=3 \tan x_2,\] \[\tan x_2 +\cot x_2=3 \tan x_3,\] \[\vdots\] \[\tan x_n +\cot x_n=3 \tan x_1\] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 5:00 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $a, b, c, d$ las longitudes de los lados de un cuadrilátero circunscrito a un círculo y sea $S$ su área. Demuestre que $S \leq \sqrt{abcd}$ y encuentre las condiciones para la igualdad. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 4:52 a. m. • 3 Y Y por mrpooh, Adventure10, Mango247 Sea $P$ un $1986$-gono convexo en el plano. Sean $A,D$ puntos interiores de dos lados distintos de $P$ y sean $B,C$ dos puntos interiores distintos del segmento de recta $AD$. Comenzando con un punto arbitrario $Q_1$ en la frontera de $P$, defina recursivamente una sucesión de puntos $Q_n$ de la siguiente manera: dado $Q_n$, extienda el segmento de recta dirigido $Q_nB$ para encontrar la frontera de $P$ en un punto $R_n$ y luego extienda $R_nC$ para encontrar la frontera de $P$ nuevamente en un punto, el cual se define como $Q_{n+1}$. Demuestre que para todo $n$ suficientemente grande, los puntos $Q_n$ se encuentran en uno de los lados de $P$ que contienen a $A$ o a $D$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 5:11 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Encuentre el menor entero $n$ con la siguiente propiedad: Para cualquier conjunto $V$ de $8$ puntos en el plano, donde no hay tres alineados, y para cualquier conjunto $E$ de $n$ segmentos de recta con extremos en $V$, se puede encontrar una línea recta que interseca al menos $4$ segmentos en $E$ en puntos interiores. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 6:18 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dado un entero $n \geq 2$ , determine todos los números de $n$ dígitos $M_0 = \overline{a_1a_2 \cdots a_n} \ (a_i \neq 0, i = 1, 2, . . ., n)$ divisibles por los números $M_1 = \overline{a_2a_3 \cdots a_na_1}$ , $M_2 = \overline{a_3a_4 \cdots a_na_1 a_2}$ , $\cdots$ , $M_{n-1} = \overline{a_na_1a_2 . . .a_{n-1}}.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 5:08 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Para enteros positivos dados $r, v, n$, sea $S(r, v, n)$ el número de $n$-tuplas de enteros no negativos $(x_1, \cdots, x_n)$ que satisfacen la ecuación $x_1 +\cdots+ x_n = r$ y tales que $x_i \leq v$ para $i = 1, \cdots , n$. Demuestre que \[S(r, v, n)=\sum_{k=0}^{m} (-1)^k \binom nk \binom{r - (v + 1)k + n - 1}{n-1}\] donde $m=\min\left\{n,\left[\frac{r}{v+1}\right]\right\}.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Assassino9931 1923 publicaciones Assassino9931 #1 h 29 de febrero de 2024, 1:57 PM • 4 Y Y por Phorphyrion, Zfn.nom-_nom, Rounak_iitr, mxsail Sea $n$ un entero positivo. Inicialmente, se coloca un alfil en cada casilla de la fila superior de un tablero de ajedrez de $2^n \times 2^n$; dichos alfiles están numerados del $1$ al $2^n$ de izquierda a derecha. Un salto es un movimiento simultáneo realizado por todos los alfiles tal que cada alfil se mueve diagonalmente, en línea recta, un cierto número de casillas, y al final del salto, todos los alfiles se encuentran en casillas diferentes de la misma fila. Encuentre el número total de permutaciones $\sigma$ de los números $1, 2, \ldots, 2^n$ con la siguiente propiedad: Existe una sucesión de saltos tal que todos los alfiles terminan en la fila inferior dispuestos en el orden $\sigma(1), \sigma(2), \ldots, \sigma(2^n)$, de izquierda a derecha. Israel Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Assassino9931, 4 de marzo de 2024, 4:59 AM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Rijul saini 964 publicaciones Rijul saini #1 h 20 de dic. de 2025, 4:27 a. m. Y por Se le asigna la tarea de crear una expresión algebraica con $n$ números reales $a_1, a_2, \ldots, a_n$ que satisfaga lo siguiente: $\bullet$ Cada término en la expresión es $\min(a_{i_1}, a_{i_2}, \ldots, a_{i_k})$ para alguna elección de $k \ge 1$ y $1 \le i _1< \cdots <i_k \le n$. $\bullet$ Cualesquiera dos términos están separados por adición o sustracción. ¿Cuál es el número mínimo de términos requeridos en dicha expresión para que el valor de la expresión sea igual a $\max(a_1, \ldots , a_n)$ para toda elección de los $n$ números reales? Propuesto por Siddharth Choppara Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Rijul saini, 23 de dic. de 2025, 3:11 a. m. Z K Y