La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 2:06 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Para cualquier ángulo $\alpha$ con $0 < \alpha < 180^{\circ}$, llamamos a un conjunto plano convexo cerrado un $\alpha$-conjunto si está delimitado por dos arcos circulares (o un arco y un segmento de recta) cuyo ángulo de intersección es $\alpha$. Dado un triángulo (cerrado) $T$, encuentre el mayor $\alpha$ tal que cualesquiera dos puntos en $T$ estén contenidos en un $\alpha$-conjunto $S \subset T.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 2:39 a. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247 y otro usuario Definimos una operación binaria $\star$ en el plano de la siguiente manera: Dados dos puntos $A$ y $B$ en el plano, $C = A \star B$ es el tercer vértice del triángulo equilátero ABC orientado positivamente. ¿Cuál es la posición relativa de tres puntos $I, M, O$ en el plano si se cumple $I \star (M \star O) = (O \star I) \star M$? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 31 de ago. de 2010, 5:35 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea $ABCD$ un tetraedro tal que la suma de cada par de aristas opuestas es igual a $1$. Demuestre que \[r_A + r_B + r_C + r_D \leq \frac{\sqrt 3}{3}\] donde $r_A, r_B, r_C, r_D$ son los inradios de las caras, dándose la igualdad solo si $ABCD$ es regular. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 2:45 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Encuentre, con demostración, todas las soluciones de la ecuación $\frac 1x +\frac 2y- \frac 3z = 1$ en enteros positivos $x, y, z.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 31 de ago. de 2010, 5:28 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sean $AX,BY,CZ$ tres cevianas concurrentes en un punto interior $D$ de un triángulo $ABC$. Demuestre que si dos de los cuadriláteros $DY AZ,DZBX,DXCY$ son circunscribibles, entonces el tercero también lo es. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 7:08 a. m. • 3 Y Y por narutomath96, Adventure10, Mango247 Dos líneas rectas perpendiculares entre sí se encuentran con cada lado de un triángulo en puntos simétricos con respecto al punto medio de dicho lado. Demuestre que estas dos líneas se intersecan en un punto sobre el círculo de los nueve puntos. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 31 de ago. de 2010, 5:12 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea $f(n)$ el número mínimo de puntos distintos en el plano tales que para cada $k = 1, 2, \cdots, n$ existe una línea recta que contiene exactamente $k$ de estos puntos. Encuentre una expresión explícita para $f(n).$ Versión simplificada. Demuestre que $f(n)=\left[\frac{n+1}{2}\right]\left[\frac{n+2}{2}\right].$ Donde $[x]$ denota el mayor entero que no excede a $x.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 28 de ago. de 2010, 1:48 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dado un entero positivo $k$, encuentre el menor entero $n_k$ para el cual existen cinco conjuntos $S_1, S_2, S_3, S_4, S_5$ con las siguientes propiedades: \[|S_j|=k \text{ para } j=1, \cdots , 5 , \quad |\bigcup_{j=1}^{5} S_j | = n_k ;\] \[|S_i \cap S_{i+1}| = 0 = |S_5 \cap S_1|, \quad \text{para } i=1,\cdots ,4 \] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 28 de ago. de 2010, 1:21 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Un conjunto de $n$ dados estándar se agitan y se colocan aleatoriamente en línea recta. Si $n < 2r$ y $r < s$, entonces la probabilidad de que haya una cadena de al menos $r$, pero no más de $s$, unos consecutivos puede escribirse como $\frac{P}{6^{s+2}}$. Encuentre una expresión explícita para $P$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 28 de ago. de 2010, 1:18 p. m. • 4 Y Y por math-sina, az360, Adventure10, Mango247 En un triángulo $ABC$, $\angle BAC = 100^{\circ}, AB = AC$. Se elige un punto $D$ en el lado $AC$ tal que $\angle ABD = \angle CBD$. Demuestre que $AD + DB = BC.$ Z K Y