La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 31 de ago. de 2010, 5:20 a. m. • 2 Y Y por Adventure10 y otro usuario El círculo inscrito en un triángulo $ABC$ toca los lados $BC,CA,AB$ en $D,E, F$ , respectivamente, y $X, Y,Z$ son los puntos medios de $EF, FD,DE$ , respectivamente. Demuestre que los centros del círculo inscrito y de los círculos alrededor de $XYZ$ y $ABC$ son colineales. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 2:10 a. m. • 2 Y Y por MahyarB, Adventure10 Sea $(a_n)_{n \geq 0}$ la sucesión de enteros definida recursivamente por $a_0 = 0, a_1 = 1, a_{n+2} = 4a_{n+1} + a_n$ para $n \geq 0.$ Encuentre los divisores comunes de $a_{1986}$ y $a_{6891}.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 2:12 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sean $I$ y $J$ los centros del incírculo y del excírculo en el ángulo $BAC$ del triángulo $ABC$. Para cualquier punto $M$ en el plano del triángulo, que no esté sobre la recta $BC$, denotamos por $I_M$ y $J_M$ los centros del incírculo y del excírculo (que toca a $BC$) del triángulo $BCM$. Encuentre el lugar geométrico de los puntos $M$ para los cuales $II_MJJ_M$ es un rectángulo. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 31 de ago. de 2010, 4:59 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sean $x_1, x_2, \cdots , x_n$ números reales que satisfacen $0 < x_1 < x_2 < \cdots< x_n < 1$ y definamos $x_0 = 0, x_{n+1} = 1$. Suponga que estos números satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: \[\sum_{j=0, j \neq i}^{n+1} \frac{1}{x_i-x_j}=0 \quad \text{donde } i = 1, 2, . . ., n.\] Demuestre que $x_{n+1-i} = 1- x_i$ para $i = 1, 2, . . . , n.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 31 de ago. de 2010, 5:08 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Tres personas $A,B,C$ están jugando el siguiente juego: Se elige al azar un subconjunto de $k$ elementos del conjunto $\{1, . . . , 1986\}$, con igual probabilidad para cada elección, donde $k$ es un entero positivo fijo menor o igual a $1986$. El ganador es $A,B$ o $C$, respectivamente, si la suma de los números elegidos deja un resto de $0, 1$ o $2$ al dividirla por $3$. ¿Para qué valores de $k$ es este juego justo? (Un juego es justo si los tres resultados son igualmente probables.) Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 6:52 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $A_1A_2A_3A_4$ un cuadrilátero inscrito en un círculo $C$. Demuestre que existe un punto $M$ en $C$ tal que $MA_1 -MA_2 +MA_3 -MA_4 = 0.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 6:30 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 En un triángulo $ABC$, el incírculo toca los lados $BC, CA, AB$ en los puntos $A',B', C'$, respectivamente; el excírculo en el ángulo $A$ toca las rectas que contienen estos lados en $A_1,B_1, C_1$, y de manera similar, los excírculos en los ángulos $B$ y $C$ tocan estas rectas en $A_2,B_2, C_2$ y $A_3,B_3, C_3$. Demuestre que el triángulo $ABC$ es rectángulo si y solo si uno de los tríos de puntos $(A',B_3, C'), (A_3,B', C_3), (A',B', C_2), (A_2,B_2, C'), (A_2,B_1, C_2), (A_3,B_3, C_1), (A_1,B_2, C_1), (A_1,B_1, C_3)$ es colineal. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 6:45 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Determine todos los pares de enteros positivos $(x, y)$ que satisfacen la ecuación $p^x - y^3 = 1$, donde $p$ es un número primo dado. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 6:25 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ un hexágono inscrito en un círculo con centro $O$. Considere el arco circular con extremos $A_1,A_6$ que no contiene a $A_2$. Para cualquier punto $M$ de dicho arco, denote por $h_i$ la distancia desde $M$ a la recta $A_iA_{i+1} \ (1 \leq i \leq 5)$. Construya $M$ tal que la suma $h_1 + \cdots + h_5$ sea máxima. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 4:47 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Deseamos construir una matriz con $19$ filas y $86$ columnas, con entradas $x_{ij} \in \{0, 1, 2\} \ (1 \leq i \leq 19, 1 \leq j \leq 86)$, tales que: (i) en cada columna hay exactamente $k$ términos iguales a $0$; (ii) para cualesquiera $j, k \in \{1, . . . , 86\}$ distintos, existe $i \in \{1, . . . , 19\}$ tal que $x_{ij} + x_{ik} = 3.$ ¿Para qué valores de $k$ es esto posible? Z K Y