La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 4:52 a. m. • 3 Y Y por mrpooh, Adventure10, Mango247 Sea $P$ un $1986$-gono convexo en el plano. Sean $A,D$ puntos interiores de dos lados distintos de $P$ y sean $B,C$ dos puntos interiores distintos del segmento de recta $AD$. Comenzando con un punto arbitrario $Q_1$ en la frontera de $P$, defina recursivamente una sucesión de puntos $Q_n$ de la siguiente manera: dado $Q_n$, extienda el segmento de recta dirigido $Q_nB$ para encontrar la frontera de $P$ en un punto $R_n$ y luego extienda $R_nC$ para encontrar la frontera de $P$ nuevamente en un punto, el cual se define como $Q_{n+1}$. Demuestre que para todo $n$ suficientemente grande, los puntos $Q_n$ se encuentran en uno de los lados de $P$ que contienen a $A$ o a $D$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 3:51 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Los enteros $1, 2, \cdots, n^2$ se colocan en las casillas de un tablero de ajedrez de $n \times n$ $(n > 2)$ de tal manera que cualesquiera dos casillas que tengan un borde o un vértice común tengan números que difieran como máximo en $n + 1$. ¿Cuál es el número total de tales colocaciones? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 31 de ago. de 2010, 5:08 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Tres personas $A,B,C$ están jugando el siguiente juego: Se elige al azar un subconjunto de $k$ elementos del conjunto $\{1, . . . , 1986\}$, con igual probabilidad para cada elección, donde $k$ es un entero positivo fijo menor o igual a $1986$. El ganador es $A,B$ o $C$, respectivamente, si la suma de los números elegidos deja un resto de $0, 1$ o $2$ al dividirla por $3$. ¿Para qué valores de $k$ es este juego justo? (Un juego es justo si los tres resultados son igualmente probables.) Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 7:14 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $(a_i)_{i\in \mathbb N}$ una sucesión estrictamente creciente de números reales positivos tal que $\lim_{i \to \infty} a_i = +\infty$ y $a_{i+1}/a_i \leq 10$ para cada $i$. Demuestre que para todo entero positivo $k$ existen infinitos pares $(i, j)$ tales que $10^k \leq a_i/a_j \leq 10^{k+1}.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 4:47 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Deseamos construir una matriz con $19$ filas y $86$ columnas, con entradas $x_{ij} \in \{0, 1, 2\} \ (1 \leq i \leq 19, 1 \leq j \leq 86)$, tales que: (i) en cada columna hay exactamente $k$ términos iguales a $0$; (ii) para cualesquiera $j, k \in \{1, . . . , 86\}$ distintos, existe $i \in \{1, . . . , 19\}$ tal que $x_{ij} + x_{ik} = 3.$ ¿Para qué valores de $k$ es esto posible? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 3:46 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Encuentre el valor máximo que puede tener la cantidad $2m+7n$ tal que existan enteros positivos distintos $x_i \ (1 \leq i \leq m), y_j \ (1 \leq j \leq n)$ tales que los $x_i$ sean pares, los $y_j$ sean impares, y $\sum_{i=1}^{m} x_i +\sum_{j=1}^{n} y_j=1986.$ Z K Y

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La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 31 de ago. de 2010, 4:48 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $f(x) = x^n$ donde $n$ es un entero positivo fijo y $x = 1, 2, \cdots .$ ¿Es la expansión decimal $a = 0.f (1)f(2)f(3) . . .$ racional para cualquier valor de $n$ ? La expansión decimal de a se define de la siguiente manera: Si $f(x) = d_1(x)d_2(x) \cdots d_{r(x)}(x)$ es la expansión decimal de $f(x)$ , entonces $a = 0.1d_1(2)d_2(2) \cdots d_{r(2)}(2)d_1(3) . . . d_{r(3)}(3)d_1(4) \cdots .$ Z K Y