La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 4:55 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $C_1, C_2$ círculos de radio $1/2$ tangentes entre sí y ambos tangentes internamente a un círculo $C$ de radio $1$. Los círculos $C_1$ y $C_2$ son los dos primeros términos de una sucesión infinita de círculos distintos $C_n$ definidos de la siguiente manera: $C_{n+2}$ es tangente externamente a $C_n$ y $C_{n+1}$ e internamente a $C$. Demuestre que el radio de cada $C_n$ es el recíproco de un entero. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 4:58 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $D$ el punto en el lado $BC$ del triángulo $ABC$ tal que $AD$ es la bisectriz de $\angle CAB$. Sea $I$ el incentro de $ABC$. (a) Construya los puntos $P$ y $Q$ en los lados $AB$ y $AC$, respectivamente, tales que $PQ$ sea paralelo a $BC$ y el perímetro del triángulo $APQ$ sea igual a $k \cdot BC$, donde $k$ es un número racional dado. (b) Sea $R$ el punto de intersección de $PQ$ y $AD$. ¿Para qué valor de $k$ se cumple la igualdad $AR = RI$? (c) ¿En qué caso se cumplen las igualdades $AR = RI = ID$? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 5:03 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Resuelva el sistema de ecuaciones \[\tan x_1 +\cot x_1=3 \tan x_2,\] \[\tan x_2 +\cot x_2=3 \tan x_3,\] \[\vdots\] \[\tan x_n +\cot x_n=3 \tan x_1\] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 5:08 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Para enteros positivos dados $r, v, n$, sea $S(r, v, n)$ el número de $n$-tuplas de enteros no negativos $(x_1, \cdots, x_n)$ que satisfacen la ecuación $x_1 +\cdots+ x_n = r$ y tales que $x_i \leq v$ para $i = 1, \cdots , n$. Demuestre que \[S(r, v, n)=\sum_{k=0}^{m} (-1)^k \binom nk \binom{r - (v + 1)k + n - 1}{n-1}\] donde $m=\min\left\{n,\left[\frac{r}{v+1}\right]\right\}.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 5:11 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Encuentre el menor entero $n$ con la siguiente propiedad: Para cualquier conjunto $V$ de $8$ puntos en el plano, donde no hay tres alineados, y para cualquier conjunto $E$ de $n$ segmentos de recta con extremos en $V$, se puede encontrar una línea recta que interseca al menos $4$ segmentos en $E$ en puntos interiores. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 6:18 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dado un entero $n \geq 2$ , determine todos los números de $n$ dígitos $M_0 = \overline{a_1a_2 \cdots a_n} \ (a_i \neq 0, i = 1, 2, . . ., n)$ divisibles por los números $M_1 = \overline{a_2a_3 \cdots a_na_1}$ , $M_2 = \overline{a_3a_4 \cdots a_na_1 a_2}$ , $\cdots$ , $M_{n-1} = \overline{a_na_1a_2 . . .a_{n-1}}.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 31 de agosto de 2010, 5:02 AM • 1 Y Y por Adventure10 De un conjunto de $n$ personas se seleccionan $q$ equipos distintos de dos miembros y se clasifican del $1, \cdots, q$ (sin empates). Sea $m$ el menor entero mayor o igual que $2q/n$. Demuestre que existen $m$ equipos distintos que pueden ser listados de tal manera que: (i) cada par de equipos consecutivos en la lista tenga un miembro en común y (ii) la cadena de equipos en la lista esté en orden de clasificación. Formulación alternativa. Dado un grafo con $n$ vértices y $q$ aristas numeradas del $1, \cdots, q$, demuestre que existe una cadena de $m$ aristas, $m \geq \frac{2q}{n}$, donde cada dos aristas consecutivas tienen un vértice en común, dispuestas de forma monótona con respecto a la numeración. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 11 de nov. de 2005, 2:18 p. m. • 5 Y Y por Kimchiks926, Adventure10, megarnie, Mango247, farhad.fritl A cada vértice de un pentágono regular se le asigna un número entero, de tal manera que la suma de los cinco números es positiva. Si a tres vértices consecutivos se les asignan los números $x,y,z$ respectivamente, y $y<0$, entonces se permite la siguiente operación: $x,y,z$ se reemplazan por $x+y,-y,z+y$ respectivamente. Tal operación se realiza repetidamente mientras al menos uno de los cinco números sea negativo. Determine si este procedimiento necesariamente termina después de un número finito de pasos. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 3:51 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Los enteros $1, 2, \cdots, n^2$ se colocan en las casillas de un tablero de ajedrez de $n \times n$ $(n > 2)$ de tal manera que cualesquiera dos casillas que tengan un borde o un vértice común tengan números que difieran como máximo en $n + 1$. ¿Cuál es el número total de tales colocaciones? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de ago. de 2010, 3:49 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sean $M,N,P$ los puntos medios de los lados $BC, CA, AB$ de un triángulo $ABC$. Las rectas $AM, BN, CP$ intersecan al circuncírculo de $ABC$ en los puntos $A',B', C'$, respectivamente. Demuestre que si $A'B'C'$ es un triángulo equilátero, entonces $ABC$ también lo es. Z K Y