La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. sarjinius 336 publicaciones sarjinius #1 h 30 de junio de 2022, 8:14 a. m. • 4 Y Y por itslumi, lian_the_noob12, Rounak_iitr, wizixez Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AH = HD$, donde $H$ es el ortocentro de $ABC$ y $D \in BC$ es el pie de la altura desde el vértice $A$. Sea $\ell$ la recta que pasa por $H$ y es tangente al circuncírculo del triángulo $BHC$. Sean $S$ y $T$ los puntos de intersección de $\ell$ con $AB$ y $AC$, respectivamente. Denotemos los puntos medios de $BH$ y $CH$ por $M$ y $N$, respectivamente. Demuestre que las rectas $SM$ y $TN$ son paralelas. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 13 de octubre de 2021, 9:37 a. m. • 1 Y Y por Rounak_iitr Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, donde $AB$ es el lado más pequeño y sea $D$ el punto medio de $AB$. Sea $P$ un punto en el interior del triángulo $ABC$ tal que $\angle CAP = \angle CBP = \angle ACB$. Desde el punto $P$, trazamos líneas perpendiculares a $BC$ y $AC$ donde el punto de intersección con $BC$ es $M$, y con $AC$ es $N$. A través del punto $M$ trazamos una línea paralela a $AC$, y a través de $N$ una paralela a $BC$. Estas líneas se interceptan en el punto $K$. Demuestre que $D$ es el centro del círculo circunscrito al triángulo $MNK$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 13 de octubre de 2021, 9:39 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. sarjinius 336 publicaciones sarjinius #1 h 30 de junio de 2022, 8:16 AM • 2 Y Y por Hopeooooo, ItsBesi Encuentre todas las cuádruplas de enteros positivos $(p, q, a, b)$, donde $p$ y $q$ son números primos y $a > 1$, tales que $$p^a = 1 + 5q^b.$$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. sarjinius 336 publicaciones sarjinius #1 h 30 de junio de 2022, 8:22 a. m. • 1 Y Y por ImSh95 Llamamos a un entero positivo par $n$ "agradable" si el conjunto $\{1, 2, \dots, n\}$ puede ser particionado en $\frac{n}{2}$ subconjuntos de dos elementos, de tal manera que la suma de los elementos en cada subconjunto sea una potencia de $3$. Por ejemplo, $6$ es agradable, porque el conjunto $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ puede ser particionado en los subconjuntos $\{1, 2\}$, $\{3, 6\}$, $\{4, 5\}$. Encuentre el número de enteros positivos agradables que son menores que $3^{2022}$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. darij grinberg 6556 publicaciones darij grinberg #1 h 11 de feb. de 2006, 1:58 p. m. • 4 Y Y por Vietjung, Adventure10, Mango247 y otro usuario más. Demuestre que la ecuación $4x^3-3x+1=2y^2$ tiene al menos $31$ soluciones en enteros positivos $x$ e $y$ con $x\leq 2005$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. darij grinberg 6556 publicaciones darij grinberg #1 h 11 de feb. de 2006, 2:06 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Demuestre que la suma: \[ S_n=\binom{n}{1}+\binom{n}{3}\cdot 2005+\binom{n}{5}\cdot 2005^2+...=\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor}\binom{n}{2k+1}\cdot 2005^k \] es divisible por $2^{n-1}$ para todo entero positivo $n$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. darij grinberg 6556 publicaciones darij grinberg #1 h 11 de feb. de 2006, 2:16 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $\mathcal{C}$ un círculo con centro $O$, y sea $A$ un punto fuera del círculo. Sean las dos tangentes desde el punto $A$ al círculo $\mathcal{C}$ que se cortan con este círculo en los puntos $S$ y $T$, respectivamente. Dado un punto $M$ en el círculo $\mathcal{C}$ que es diferente de los puntos $S$ y $T$, sea $P$ el punto donde la recta $MA$ se corta con la perpendicular desde el punto $S$ a la recta $MO$. Demuestre que la reflexión del punto $S$ respecto al punto $P$ se encuentra sobre la recta $MT$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. darij grinberg 6556 publicaciones darij grinberg #1 h 11 de feb. de 2006, 2:21 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sean $k$ y $n$ enteros positivos. Considere una matriz de $2\left(2^n-1\right)$ filas por $k$ columnas. Se dice que una $2$-coloración de los elementos de la matriz es aceptable si cualesquiera dos columnas coinciden en menos de $2^n-1$ entradas en la misma fila. Dado $n$, determine el valor máximo de $k$ para que exista una $2$-coloración aceptable. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 11 de mar. de 2020, 7:02 a. m. • 3 Y Y por Mango247, Mango247, Mango247 El punto $P$ se encuentra dentro del triángulo $ABC$. Los puntos $K, L, M$ son los simétricos del punto $P$ con respecto a los puntos medios de los lados $BC, CA, AB$. Demuestre que las rectas $AK, BL, CM$ se intersecan en un mismo punto. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 12 de mar. de 2020, 4:08 p. m. • 3 Y Y por Mango247, Mango247, Mango247 El tablero de $8 \times 8$ está cubierto con la misma forma que en la imagen de la derecha (cada una de las formas puede rotarse $90^o$) de tal manera que dos cualesquiera no se superpongan ni se extiendan más allá del borde del tablero de ajedrez. Determine el mayor número posible de casillas de este tablero de ajedrez que pueden cubrirse como se describió anteriormente. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/e/5/d7f44f37857eb115edad5ea26400cdca04e107.png Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 12 de mar. de 2020, 4:09 p. m. Z K Y