La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Math-lover123 304 publicaciones Math-lover123 #1 h 14 de junio de 2013, 5:22 AM • 2 Y Y por Adventure10 y otro usuario Sean $x,y,z$ números reales positivos para los cuales: $\sum (xy)^{2}=6xyz$ Demuestre que: $\sum \sqrt{\frac{x}{x+yz}}\geq \sqrt{3}$ . Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Math-lover123, 14 de junio de 2013, 7:04 AM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. m2121 38 publicaciones m2121 #1 h 28 de sep. de 2017, 5:08 a. m. • 3 Y Y por jhu08, Adventure10, Mango247 1- Encuentre un par $(m,n)$ de enteros positivos tal que $K = |2^m-3^n|$ en todos estos casos: $a) K=5$ $b) K=11$ $c) K=19$ 2- ¿Existe un par $(m,n)$ de enteros positivos tal que: $$|2^m-3^n| = 2017$$ 3- Todo número primo menor que $41$ puede representarse en la forma $|2^m-3^n|$ tomando un par $(m,n)$ adecuado de enteros positivos. Demuestre que el número $41$ no puede representarse en la forma $|2^m-3^n|$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos. 4- Note que $2^5+3^2=41$. El número $53$ es el menor número primo que no puede representarse como una suma o una diferencia de una potencia de $2$ y una potencia de $3$. Demuestre que el número $53$ no puede representarse en ninguna de las formas $2^m-3^n$, $3^n-2^m$, $2^m+3^n$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Math-lover123 304 publicaciones Math-lover123 #1 h 14 de junio de 2013, 5:18 AM • 3 Y Y por Adventure10 y otros 2 usuarios Determine el menor entero $k$ para el cual la siguiente historia podría ser cierta: En un torneo de ajedrez con $24$ jugadores, cada par de jugadores juega al menos $2$ y a lo sumo $k$ partidas entre sí. Al final del torneo, resulta que cada jugador ha jugado un número diferente de partidas. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Math-lover123 304 publicaciones Math-lover123 #1 h 1 de junio de 2013, 3:45 AM • 3 Y Y por Adventure10 y otros 2 usuarios ¿Existen dos polinomios mónicos reales $P(x)$ y $Q(x)$ de grado 3, tales que las raíces de $P(Q(x))$ sean nueve enteros no negativos distintos entre sí que sumen $72$? (En un polinomio mónico de grado 3, el coeficiente de $x^{3}$ es $1$). Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Math-lover123, 14 de junio de 2013, 7:04 AM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. m2121 38 publicaciones m2121 #1 h 28 de sep. de 2017, 5:12 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Un país consta de islas $A_1,A_2,\cdots,A_N$. El ministerio de transporte decidió construir algunos puentes de tal manera que cualquiera pueda viajar en automóvil desde cualquiera de las islas $A_1,A_2,\cdots,A_N$ hasta cualquier otra isla mediante uno o más de estos puentes. Por razones técnicas, los únicos puentes que se pueden construir son entre $A_i$ y $A_{i+1}$ donde $i = 1,2,\cdots,N-1$, y entre $A_i$ y $A_N$ donde $i<N$. Decimos que un plan para construir algunos puentes es bueno si satisface las condiciones anteriores, pero al eliminar cualquier puente ya no satisface dichas condiciones. Asumimos que hay $a_N$ planes buenos. Observe que $a_1 = 1$ (el único plan bueno es no construir ningún puente), y $a_2 = 1$ (construimos un puente). 1-Demuestre que $a_3 = 3$. 2-Dibuje al menos $5$ planes buenos diferentes en el caso de que $N=4$ y las islas sean los vértices de un cuadrado. 3-Calcule $a_4$. 4-Calcule $a_6$. 5-Demuestre que existe un entero positivo $i$ tal que $1438$ divide a $a_i$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 14 de enero de 2026, 4:25 a. m. • 1 Y Y por cubres Sea $ABC$ un triángulo. Suponga que las distancias desde el vértice del ángulo más pequeño al circuncentro y al ortocentro del triángulo son iguales. Demuestre que el triángulo es equilátero. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 14 de enero de 2026, 4:23 a. m. • 1 Y Y por cubres ¿Se pueden encontrar $27$ puntos en el plano tales que cualesquiera tres de ellos formen un triángulo escaleno? Si es así, demuestre que entre estos puntos es posible formar exactamente $65$ triángulos acutángulos distintos. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 12 de mar. de 2020, 4:08 p. m. • 3 Y Y por Mango247, Mango247, Mango247 El tablero de $8 \times 8$ está cubierto con la misma forma que en la imagen de la derecha (cada una de las formas puede rotarse $90^o$) de tal manera que dos cualesquiera no se superpongan ni se extiendan más allá del borde del tablero de ajedrez. Determine el mayor número posible de casillas de este tablero de ajedrez que pueden cubrirse como se describió anteriormente. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/e/5/d7f44f37857eb115edad5ea26400cdca04e107.png Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 12 de mar. de 2020, 4:09 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bigant146 111 publicaciones bigant146 #1 h 13 de mar. de 2022, 1:10 p. m. Y por Se dan enteros positivos $a$ , $b$ , $c$. Se sabe que $\frac{c}{b}=\frac{b}{a}$ , y que el número $b^2-a-c+1$ es un número primo. Demuestre que $a$ y $c$ son el doble de los cuadrados de enteros positivos. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Math-lover123 304 publicaciones Math-lover123 #1 h 31 de mayo de 2013, 3:03 AM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 $ABCD$ es un cuadrilátero inscrito en un círculo $\Gamma$. Las rectas $AB$ y $CD$ se cortan en $E$ y las rectas $AD$ y $BC$ se cortan en $F$. Demuestre que el círculo con diámetro $EF$ y el círculo $\Gamma$ son ortogonales. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Math-lover123, 14 de junio de 2013, 7:05 AM Z K Y