La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 14 de enero de 2026, 4:23 a. m. • 1 Y Y por cubres ¿Se pueden encontrar $27$ puntos en el plano tales que cualesquiera tres de ellos formen un triángulo escaleno? Si es así, demuestre que entre estos puntos es posible formar exactamente $65$ triángulos acutángulos distintos. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 14 de enero de 2026, 4:25 a. m. • 1 Y Y por cubres Sea $ABC$ un triángulo. Suponga que las distancias desde el vértice del ángulo más pequeño al circuncentro y al ortocentro del triángulo son iguales. Demuestre que el triángulo es equilátero. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. m2121 38 publicaciones m2121 #1 h 28 de sep. de 2017, 5:08 a. m. • 3 Y Y por jhu08, Adventure10, Mango247 1- Encuentre un par $(m,n)$ de enteros positivos tal que $K = |2^m-3^n|$ en todos estos casos: $a) K=5$ $b) K=11$ $c) K=19$ 2- ¿Existe un par $(m,n)$ de enteros positivos tal que: $$|2^m-3^n| = 2017$$ 3- Todo número primo menor que $41$ puede representarse en la forma $|2^m-3^n|$ tomando un par $(m,n)$ adecuado de enteros positivos. Demuestre que el número $41$ no puede representarse en la forma $|2^m-3^n|$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos. 4- Note que $2^5+3^2=41$. El número $53$ es el menor número primo que no puede representarse como una suma o una diferencia de una potencia de $2$ y una potencia de $3$. Demuestre que el número $53$ no puede representarse en ninguna de las formas $2^m-3^n$, $3^n-2^m$, $2^m+3^n$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Math-lover123 304 publicaciones Math-lover123 #1 h 1 de junio de 2013, 3:45 AM • 3 Y Y por Adventure10 y otros 2 usuarios ¿Existen dos polinomios mónicos reales $P(x)$ y $Q(x)$ de grado 3, tales que las raíces de $P(Q(x))$ sean nueve enteros no negativos distintos entre sí que sumen $72$? (En un polinomio mónico de grado 3, el coeficiente de $x^{3}$ es $1$). Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Math-lover123, 14 de junio de 2013, 7:04 AM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Math-lover123 304 publicaciones Math-lover123 #1 h 14 de junio de 2013, 5:22 AM • 2 Y Y por Adventure10 y otro usuario Sean $x,y,z$ números reales positivos para los cuales: $\sum (xy)^{2}=6xyz$ Demuestre que: $\sum \sqrt{\frac{x}{x+yz}}\geq \sqrt{3}$ . Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Math-lover123, 14 de junio de 2013, 7:04 AM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. darij grinberg 6556 publicaciones darij grinberg #1 h 11 de feb. de 2006, 2:06 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Demuestre que la suma: \[ S_n=\binom{n}{1}+\binom{n}{3}\cdot 2005+\binom{n}{5}\cdot 2005^2+...=\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor}\binom{n}{2k+1}\cdot 2005^k \] es divisible por $2^{n-1}$ para todo entero positivo $n$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Valentin Vornicu 7301 publicaciones Valentin Vornicu #1 h 24 de abr. de 2006, 6:58 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea $n$ un entero positivo y $\mathcal S$ el conjunto de puntos $(x, y)$ con $x, y \in \{1, 2, \ldots , n\}$ . Sea $\mathcal T$ el conjunto de todos los cuadrados con vértices en el conjunto $\mathcal S$ . Denotamos por $a_k$ ( $k \geq 0$ ) el número de pares (no ordenados) de puntos para los cuales existen exactamente $k$ cuadrados en $\mathcal T$ que tienen a estos dos puntos como vértices. Demuestre que $a_0 = a_2 + 2a_3$ . Yugoslavia Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 13 de octubre de 2021, 9:37 a. m. • 1 Y Y por Rounak_iitr Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, donde $AB$ es el lado más pequeño y sea $D$ el punto medio de $AB$. Sea $P$ un punto en el interior del triángulo $ABC$ tal que $\angle CAP = \angle CBP = \angle ACB$. Desde el punto $P$, trazamos líneas perpendiculares a $BC$ y $AC$ donde el punto de intersección con $BC$ es $M$, y con $AC$ es $N$. A través del punto $M$ trazamos una línea paralela a $AC$, y a través de $N$ una paralela a $BC$. Estas líneas se interceptan en el punto $K$. Demuestre que $D$ es el centro del círculo circunscrito al triángulo $MNK$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 13 de octubre de 2021, 9:39 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. m2121 38 publicaciones m2121 #1 h 28 de sep. de 2017, 5:12 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Un país consta de islas $A_1,A_2,\cdots,A_N$. El ministerio de transporte decidió construir algunos puentes de tal manera que cualquiera pueda viajar en automóvil desde cualquiera de las islas $A_1,A_2,\cdots,A_N$ hasta cualquier otra isla mediante uno o más de estos puentes. Por razones técnicas, los únicos puentes que se pueden construir son entre $A_i$ y $A_{i+1}$ donde $i = 1,2,\cdots,N-1$, y entre $A_i$ y $A_N$ donde $i<N$. Decimos que un plan para construir algunos puentes es bueno si satisface las condiciones anteriores, pero al eliminar cualquier puente ya no satisface dichas condiciones. Asumimos que hay $a_N$ planes buenos. Observe que $a_1 = 1$ (el único plan bueno es no construir ningún puente), y $a_2 = 1$ (construimos un puente). 1-Demuestre que $a_3 = 3$. 2-Dibuje al menos $5$ planes buenos diferentes en el caso de que $N=4$ y las islas sean los vértices de un cuadrado. 3-Calcule $a_4$. 4-Calcule $a_6$. 5-Demuestre que existe un entero positivo $i$ tal que $1438$ divide a $a_i$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bigant146 111 publicaciones bigant146 #1 h 13 de mar. de 2022, 1:10 p. m. Y por Se dan enteros positivos $a$ , $b$ , $c$. Se sabe que $\frac{c}{b}=\frac{b}{a}$ , y que el número $b^2-a-c+1$ es un número primo. Demuestre que $a$ y $c$ son el doble de los cuadrados de enteros positivos. Z K Y