233 Sea un $n$-gono regular con el punto $O$ como su centro. Todos los vértices están marcados con $+1$ o $-1$. Podemos cambiar todos los signos en los vértices de un $k$-gono regular ($2 \le k \le n$) con el mismo centro $O$. (Por $2$-gono entendemos un segmento, dividido por la mitad por $O$). Demuestre que en los casos a), b) y c) existe un conjunto de $(+1)$ y $(-1)$ tal que nunca podemos obtener un conjunto de solo $(+1)$. a) $n = 15$, b) $n = 30$, c) $n > 2$, d) Denotemos $K(n)$ como el número máximo de conjuntos de $(+1)$ y $(-1)$ tales que es imposible obtener uno a partir de otro. Demuestre, por ejemplo, que $K(200) = 2^{80}$.

302 La arista $[AC]$ del tetraedro $ABCD$ es ortogonal a $[BC]$, y $[AD]$ es ortogonal a $[BD]$. Demuestre que el coseno del ángulo entre las rectas $(AC)$ y $(BD)$ es menor que $|CD|/|AB|$.

188 Dados $4$ puntos en el espacio tridimensional, que no yacen en un mismo plano. ¿Cuál es el número de paralelepípedos tales que cada punto sea un vértice de cada paralelepípedo?

238 Varias fichas blancas y negras están colocadas a lo largo de una circunferencia. Dos hombres retiran fichas por turnos. El primero retira todas las negras que tenían al menos una vecina blanca, y el segundo, todas las blancas que tenían al menos una vecina negra. Se detienen cuando todas las fichas son del mismo color. a) Sea $40$ el número de fichas inicialmente. ¿Es posible que después de dos movimientos de cada hombre quede solo una ficha? b) Sea $1000$ el número de fichas inicialmente. ¿Cuál es el número mínimo posible de movimientos para llegar a la posición en la que quede solo una ficha?

319 Sean $x,y$ números positivos que satisfacen la igualdad $$x^3+y^3=x-y$$ Demuestre que $$x^2+y^2<1$$

Dados $(2m+1)$ enteros distintos, tales que el valor absoluto de cada uno no es mayor que $(2m-1)$. Demuestre que es posible elegir tres números entre ellos, cuya suma sea igual a cero.

335 Tres números $a,b,c$ pertenecen al intervalo $[0,\pi /2]$ con $$\cos a = a, \sin(\cos b) = b, \cos(\sin c ) = c$$ Ordene dichos números en orden creciente.

184 El rey ha recorrido el tablero de ajedrez de $8\times 8$ habiendo visitado todas las casillas una sola vez y regresado al punto de partida. Cuando se dibujó su trayectoria (los centros de las casillas se conectaron con líneas rectas), apareció una línea quebrada cerrada sin autointersecciones. a) Dé un ejemplo de que el rey pudo haber dado $28$ pasos paralelos a los lados del tablero únicamente. b) Demuestre que no pudo haber dado menos de $28$ pasos de este tipo. c) ¿Cuál es la longitud máxima y mínima de la línea quebrada si el lado de una casilla es $1$?

346 Demuestre que la siguiente desigualdad se cumple para todo número real $a$ y todo natural $n$: $$|a| \cdot |a-1|\cdot |a-2|\cdot ...\cdot |a-n| \ge \frac{n!F(a)}{2n}$$ donde $F(a)$ es la distancia de $a$ al entero más cercano.

316 Encuentre las soluciones naturales de la ecuación $x^3 - y^3 = xy + 61$.