222 Dadas tres circunferencias del mismo radio en un plano. a) Las tres se cruzan en un punto $K$. Considere tres arcos $AK, CK, EK$: $A, C, E$ son los puntos de intersección de las circunferencias y los arcos se toman en el sentido de las agujas del reloj. Cada arco está dentro de un círculo, fuera del segundo y en el borde del tercero. Demuestre que la suma de los arcos es $180$ grados. b) Considere el caso en el que los tres círculos forman un triángulo curvilíneo $BDF$ como su intersección (en lugar de un punto $K$). Los arcos se toman en el sentido de las agujas del reloj. Cada arco está dentro de un círculo, fuera del segundo y en el borde del tercero. Demuestre que la suma de los arcos $AB, CD$ y $EF$ es $180$ grados.

183 $N$ hombres no se conocen entre sí. Usted debe presentar a algunos de ellos con otros de tal manera que no existan tres hombres con el mismo número de conocidos. Demuestre que esto es posible para todo $N$.

220 Hay $50$ relojes exactos sobre una mesa. Demuestre que existe un momento determinado en el que la suma de las distancias desde el centro de la mesa hasta los extremos de los minuteros es mayor que la suma de las distancias desde el centro de la mesa hasta los centros de los relojes.

223 Los números naturales $x_1$ y $x_2$ son menores que $1000$. Construimos una sucesión: $$x_3 = |x_1 - x_2|$$ $$x_4 = min \{ |x_1 - x_2|, |x_1 - x_3|, |x_2 - x_3|\}$$ $$...$$ $$x_k = min \{ |x_i - x_j|, 0 <i < j < k\}$$ $$...$$ Demuestre que $x_{21} = 0$.

244 Llamemos "fino" a un número de $2n$ dígitos si es un cuadrado perfecto y los dos números representados por sus primeros $n$ dígitos (el primer dígito no puede ser cero) y sus últimos $n$ dígitos (el primer dígito puede ser cero, pero el número no puede ser cero) también son cuadrados perfectos. a) Encuentre todos los números finos de dos y cuatro dígitos. b) ¿Existe algún número fino de seis dígitos? c) Demuestre que existe un número fino de $20$ dígitos. d) Demuestre que existen al menos diez números finos de $100$ dígitos. e) Demuestre que existe un número fino de $30$ dígitos.

249 Dados $1000$ cuadrados en el plano con sus lados paralelos a los ejes de coordenadas. Sea $M$ el conjunto de los centros de dichos cuadrados. Demuestre que se pueden marcar algunos cuadrados de tal manera que cada punto de $M$ esté contenido en no menos de uno y no más de cuatro cuadrados marcados.

228 Hay tres caminos rectos. Tres peatones se mueven a lo largo de esos caminos y no están alineados en el momento inicial. Demuestre que estarán alineados no más de dos veces.

246 Hay $1000$ boletos con los números $000, 001, ... , 999$, y $100$ cajas con los números $00, 01, ... , 99$. Usted puede colocar un boleto en una caja si puede obtener el número de la caja a partir del número del boleto eliminando un dígito. Demuestre que: a) Puede colocar todos los boletos en $50$ cajas; b) $40$ cajas no son suficientes para ello; c) es imposible utilizar menos de $50$ cajas. d) Considere $10000$ boletos de $4$ dígitos, y se le permite eliminar dos dígitos. Demuestre que $34$ cajas son suficientes para almacenar todos los boletos. e) ¿Cuál es el conjunto mínimo de cajas utilizadas en el caso de boletos de $k$ dígitos?

227 Hay $n$ rectángulos dibujados en una hoja de papel rectangular con los lados de los rectángulos paralelos a los lados de la hoja. Los rectángulos no tienen puntos interiores comunes entre sí. Demuestre que, después de recortar los rectángulos, la hoja se dividirá en no más de $n+1$ partes.

201 Encuentre todos los números de tres dígitos tales que sean iguales a la media aritmética de los seis números obtenidos al reordenar sus dígitos.