245 Dado un conjunto de $n$ números positivos. Para cada uno de sus subconjuntos no vacíos, considere la suma de todos los números del subconjunto. Demuestre que puede dividir dichas sumas en $n$ grupos de tal manera que la suma menor en cada grupo no sea menor que la mitad de la suma mayor en el mismo grupo.

300 El conjunto $A$ consiste únicamente en números enteros. Su elemento mínimo es $1$ y su elemento máximo es $100$. Cada elemento de $A$, excepto el $1$, es igual a la suma de dos números (que pueden ser iguales) contenidos en $A$. ¿Cuál es el menor número posible de elementos en $A$?

231 Dado un número natural $n$. Llamaremos "universal" a una sucesión de números naturales $a_1, a_2, ... , a_k, k\ge n$, si podemos obtener cualquier transposición de los primeros $n$ números naturales (es decir, una sucesión de $n$ números tal que cada uno aparece solo una vez) eliminando algunos de sus miembros. (Ejemplos: $(1,2,3,1,2,1,3)$ es universal para $n=3$, y $(1,2,3,2,1,3,1)$ no lo es, porque no se puede obtener $(3,1,2)$ a partir de ella). El objetivo es estimar la longitud de la sucesión universal más corta para un $n$ dado. a) Dé un ejemplo de una sucesión universal de $n^2$ miembros. b) Dé un ejemplo de una sucesión universal de $(n^2 - n + 1)$ miembros. c) Demuestre que toda sucesión universal contiene no menos de $n(n + 1)/2$ miembros. d) Demuestre que la sucesión universal más corta para $n=4$ contiene 12 miembros. e) Encuentre una sucesión universal tan corta como pueda. El Comité Organizador conoce el método para $(n^2 - 2n + 4)$ miembros.

298 Dado un triángulo equilátero $ABC$. Una recta, paralela a $[AC]$, corta a $[AB]$ y $[BC]$ en los puntos $M$ y $P$ respectivamente. Sea $D$ el centro del triángulo $PMB$, y sea $E$ el punto medio del segmento $[AP]$. Encuentre los ángulos del triángulo $DEC$.

188 Dados $4$ puntos en el espacio tridimensional, que no yacen en un mismo plano. ¿Cuál es el número de paralelepípedos tales que cada punto sea un vértice de cada paralelepípedo?

303 El número $x$ del intervalo $[0,1]$ está escrito como una fracción decimal infinita. Al reordenar sus primeros cinco dígitos después del punto decimal, podemos obtener otra fracción que corresponde al número $x_1$. Al reordenar cinco dígitos de $x_k$ desde el $(k+1)$-ésimo hasta el $(k+5)$-ésimo después del punto decimal, obtenemos el número $x_{k+1}$. a) Demuestre que la sucesión $x_i$ tiene límite. b) ¿Puede este límite ser irracional si hemos comenzado con un número racional? c) Invente un número tal que siempre produzca números irracionales, sin importar qué dígitos sean transpuestos.

301 Demuestre que existe un número infinito de tales números $B$ para los cuales la ecuación $\lfloor x^3/2\rfloor + \lfloor y^3/2 \rfloor = B$ tiene al menos $1980$ soluciones enteras $(x,y)$. ($\lfloor z\rfloor$ denota el mayor entero que no excede a $z$.)

297 Sea $P(n)$ el producto de todos los dígitos de $n$. Considere la sucesión $$n_{k+1} = n_k + P(n_k)$$ ¿Puede ser no acotada para algún $n_1$?

236 Dados varios puntos, no todos situados sobre una misma línea recta. Se asigna un número a cada punto. Se sabe que, si una línea recta contiene dos o más puntos, entonces la suma de los números asignados a dichos puntos es igual a cero. Demuestre que todos los números son iguales a cero.

239 Sea una sucesión infinita $a_n$. Se sabe que el límite de $$b_n=a_{n+1}-a_n/2$$ es igual a cero. Demuestre que el límite de $a_n$ es igual a cero.