La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. iandrei 138 publicaciones iandrei #1 h 14 de julio de 2003, 12:07 PM • 8 Y Y por ValidName, Adventure10, Mango247, Shinobu...Kocho, mxsail y otros 3 usuarios. Cada par de lados opuestos de un hexágono convexo tiene la siguiente propiedad: la distancia entre sus puntos medios es igual a $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ veces la suma de sus longitudes. Demuestre que todos los ángulos del hexágono son iguales. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. codyj 723 publicaciones codyj #1 h 11 de julio de 2015, 1:30 a. m. • 8 Y Y por Davi-8191, Wizard_32, AlastorMoody, megarnie, Adventure10, Mango247, ItsBesi, Rounak_iitr El triángulo $ABC$ tiene un circuncírculo $\Omega$ y un circuncentro $O$. Un círculo $\Gamma$ con centro en $A$ corta al segmento $BC$ en los puntos $D$ y $E$, de tal manera que $B$, $D$, $E$ y $C$ son todos distintos y yacen sobre la recta $BC$ en ese orden. Sean $F$ y $G$ los puntos de intersección de $\Gamma$ y $\Omega$, tales que $A$, $F$, $B$, $C$ y $G$ yacen sobre $\Omega$ en ese orden. Sea $K$ el segundo punto de intersección del circuncírculo del triángulo $BDF$ y el segmento $AB$. Sea $L$ el segundo punto de intersección del circuncírculo del triángulo $CGE$ y el segmento $CA$. Suponga que las rectas $FK$ y $GL$ son distintas y se cortan en el punto $X$. Demuestre que $X$ yace sobre la recta $AO$. Propuesto por Grecia Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por djmathman, 14 de junio de 2018, 11:21 a. m. Razón: autores en cursiva Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bigant146 111 publicaciones bigant146 #1 h 7 de abril de 2019, 12:33 PM • 1 Y Y por Adventure10 Puntos Los puntos $A'$ y $B'$ yacen dentro del paralelogramo $ABCD$ y los puntos $C'$ y $D'$ yacen fuera de él, de tal manera que todos los lados del octógono $AA'BB'CC'DD'$ son iguales. Demuestre que $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D'$ son concíclicos. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 20 de sep. de 2010, 1:57 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea $T_1$ un triángulo que tiene a $a, b, c$ como longitudes de sus lados y sea $T_2$ otro triángulo que tiene a $u, v, w$ como longitudes de sus lados. Si $P, Q$ son las áreas de los dos triángulos, demuestre que \[16PQ \leq a^2(-u^2 + v^2 + w^2) + b^2(u^2 - v^2 + w^2) + c^2(u^2 + v^2 - w^2).\] ¿Cuándo se cumple la igualdad? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. codyj 723 publicaciones codyj #1 h 11 de julio de 2015, 2:03 AM • 10 Y Y por RadioActive, anantmudgal09, 62861, Tawan, Davi-8191, ValidName, yugrey, Purple_Planet, Adventure10, cubres La sucesión $a_1,a_2,\dots$ de enteros satisface las condiciones: (i) $1\le a_j\le2015$ para todo $j\ge1$ , (ii) $k+a_k\neq \ell+a_\ell$ para todo $1\le k<\ell$ . Demuestre que existen dos enteros positivos $b$ y $N$ para los cuales \[\left\vert\sum_{j=m+1}^n(a_j-b)\right\vert\le1007^2\] para todos los enteros $m$ y $n$ tales que $n>m\ge N$ . Propuesto por Ivan Guo y Ross Atkins, Australia Esta publicación ha sido editada 6 veces. Última edición por djmathman, 14 de junio de 2018, 11:21 AM Razón: autores en cursiva Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. termas 129 publicaciones termas #1 h 10 de julio de 2015, 2:26 AM • 14 Y Y por A_Gappus, qwert159, dantx5, WJ.JamshiD, RohanC, Davi-8191, Tawan, Aspirant-to-IMO, megarnie, NO_SQUARES, Adventure10, Mango247, cubres, Mo.11ss Encuentre todos los enteros positivos $(a,b,c)$ tales que $$ab-c,\quad bc-a,\quad ca-b$$ sean todos potencias de $2$. Propuesto por Serbia Esta publicación ha sido editada 5 veces. Última edición por v_Enhance, 11 de abril de 2020, 8:22 PM Razón: Z positivo K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. randomusername 1062 publicaciones randomusername #1 h 10 de julio de 2015, 3:12 AM • 16 Y Y por quangminhltv99, Davi-8191, jam10307, michael221, tenplusten, Aryan-23, itslumi, Aritra12, centslordm, jhu08, Mahmood.sy, megarnie, son7, Adventure10, Funcshun840, Just1 Decimos que un conjunto finito $\mathcal{S}$ de puntos en el plano es equilibrado si, para cualesquiera dos puntos distintos $A$ y $B$ en $\mathcal{S}$, existe un punto $C$ en $\mathcal{S}$ tal que $AC=BC$. Decimos que $\mathcal{S}$ está libre de centro si para cualesquiera tres puntos distintos $A$, $B$ y $C$ en $\mathcal{S}$, no existe ningún punto $P$ en $\mathcal{S}$ tal que $PA=PB=PC$. (a) Demuestre que para todo entero $n\ge 3$, existe un conjunto equilibrado que consiste en $n$ puntos. (b) Determine todos los enteros $n\ge 3$ para los cuales existe un conjunto equilibrado libre de centro que consiste en $n$ puntos. Propuesto por Países Bajos Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por v_Enhance, 26 de julio de 2015, 9:46 AM Razón: Falta $n$ en la parte (b) Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. sqing 46153 publicaciones sqing #1 h 4 de mar. de 2023, 3:39 a. m. • 2 Y Y por sayheykid, bin_sherlo Sean $r,g,b$ enteros no negativos y $\Gamma$ un grafo conexo con $r+g+b+1$ vértices. Sus aristas están coloreadas de rojo, verde y azul. Resulta que $\Gamma$ contiene un árbol generador con exactamente $r$ aristas rojas, un árbol generador con exactamente $g$ aristas verdes y un árbol generador con exactamente $b$ aristas azules. Demuestre que $\Gamma$ contiene un árbol generador con exactamente $r$ aristas rojas, $g$ aristas verdes y $b$ aristas azules. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por sqing, 4 de mar. de 2023, 3:45 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Peter 3615 publicaciones Peter #1 h 25 de abr. de 2005, 5:29 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 (a) Sea M un punto interior del cuadrilátero convexo ABCD. Demuestre que $|MA|+|MB| < |AD|+|DC|+|CB|$ . (b) Sea M un punto interior del triángulo ABC. Note $k=\min(|MA|,|MB|,|MC|)$ . Demuestre que $k+|MA|+|MB|+|MC|<|AB|+|BC|+|CA|$ . Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. fasttrust_12-mn 119 publicaciones fasttrust_12-mn #1 h 15 de agosto de 2024, 5:19 PM • 1 Y Y por PikaPika999 Encuentre todos los enteros positivos $a,b$ y $c$ tales que $\frac{a+b}{a+c}=\frac{b+c}{b+a}$ y $ab+bc+ca$ sea un número primo. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por fasttrust_12-mn, 15 de agosto de 2024, 5:19 PM Z K Y