166 Cada una de las $9$ líneas rectas divide el cuadrado dado en dos cuadriláteros con una razón de áreas de $2:3$. Demuestre que existen tres de ellas que se intersecan en un mismo punto.

326 Los segmentos $[AD], [BE]$ y $[CF]$ son las aristas laterales de un prisma triangular regular (el triángulo equilátero es una base). Encuentre todos los puntos en su base $ABC$ que se encuentran a distancias iguales de las rectas $(AE), (BF)$ y $(CD)$.

297 Sea $P(n)$ el producto de todos los dígitos de $n$. Considere la sucesión $$n_{k+1} = n_k + P(n_k)$$ ¿Puede ser no acotada para algún $n_1$?

329 a) Sean $m$ y $n$ números naturales. Para algunos enteros no negativos $k_1, k_2, ... , k_n$, el número $$2^{k_1}+2^{k_2}+...+2^{k_n}$$ es divisible por $(2^m-1)$. Demuestre que $n \ge m$. b) ¿Puede encontrar un número, divisible por $111...1$ ($m$ veces "$1$"), cuya suma de dígitos sea menor que $m$?

164 Dados varios cuadrados con un área total de $1$. Demuestre que es posible colocarlos dentro de un cuadrado de área $2$ sin que se solapen.

188 Dados $4$ puntos en el espacio tridimensional, que no yacen en un mismo plano. ¿Cuál es el número de paralelepípedos tales que cada punto sea un vértice de cada paralelepípedo?

336 La línea quebrada cerrada $M$ tiene un número impar de vértices $A_1, A_2, ..., A_{2n+1}$ en secuencia. Denotemos con $S(M)$ una nueva línea quebrada cerrada con vértices $B_1, B_2, ..., B_{2n+1}$, los cuales son los puntos medios de los segmentos de la primera línea: $B_1$ es el punto medio de $[A_1A_2], ..., B_{2n+1}$ es el punto medio de $[A_{2n+1}A_1]$. Demuestre que en la sucesión $M_1=S(M), ..., M_k = S(M_{k-1}), ...$ existe una línea quebrada homotética a $M$.

184 El rey ha recorrido el tablero de ajedrez de $8\times 8$ habiendo visitado todas las casillas una sola vez y regresado al punto de partida. Cuando se dibujó su trayectoria (los centros de las casillas se conectaron con líneas rectas), apareció una línea quebrada cerrada sin autointersecciones. a) Dé un ejemplo de que el rey pudo haber dado $28$ pasos paralelos a los lados del tablero únicamente. b) Demuestre que no pudo haber dado menos de $28$ pasos de este tipo. c) ¿Cuál es la longitud máxima y mínima de la línea quebrada si el lado de una casilla es $1$?

286 La carga para la estación espacial "Salute" está empacada en contenedores. Hay más de $35$ contenedores y el peso total es de $18$ toneladas métricas. Hay $7$ naves de transporte de ida "Progress", cada una capaz de llevar $3$ toneladas métricas a la estación. Se sabe que son capaces de llevar un subconjunto arbitrario de $35$ contenedores. Demuestre que son capaces de llevar toda la carga.

292 Encuentre las soluciones reales del sistema: $$\begin{cases} \sin x + 2 \sin (x+y+z) = 0 \\ \sin y + 3 \sin (x+y+z) = 0\\ \sin z + 4 \sin (x+y+z) = 0\end{cases}$$