5 Sea $p$ un número primo. Sabemos que cada número natural puede escribirse de manera única en la forma \[\sum_{i=0}^{t}a_ip^i (t,a_i \in \mathbb N\cup \{0\},0\le a_i\le p-1)\] . Ahora sea $T$ el conjunto de todas las sumas de la forma \[\sum_{i=0}^{\infty}a_ip^i (0\le a_i \le p-1).\] (Esto significa permitir números con una representación infinita en base $p$ ). Así, los números para los cuales para algún $N\in \mathbb N$ todos los coeficientes $a_i, i\ge N$ son cero son números naturales. (De hecho, podemos considerar los miembros de $T$ como sucesiones $(a_0,a_1,a_2,...)$ para las cuales $\forall_{i\in \mathbb N}: 0\le a_i \le p-1$ . ) Ahora generalizamos la suma y la multiplicación de los números naturales a este conjunto de modo que se convierta en un anillo (no es necesario demostrar este hecho). Por ejemplo: $1+(\sum_{i=0}^{\infty} (p-1)p^i)=1+(p-1)+(p-1)p+(p-1)p^2+...$ $=p+(p-1)p+(p-1)p^2+...=p^2+(p-1)p^2+(p-1)p^3+...$ $=p^3+(p-1)p^3+...=...$ Así, en esta suma, los coeficientes de todos los números $p^k, k\in \mathbb N$ son cero, por lo que esta suma es cero y, por tanto, podemos concluir que $\sum_{i=0}^{\infty}(p-1)p^i$ desempeña el papel de $-1$ (el inverso aditivo de $1$ ) en este anillo. Como ejemplo de multiplicación considere \[(1+p)(1+p+p^2+p^3+...)=1+2p+2p^2+\cdots\] Suponga que $p$ es $1$ módulo $4$ . Demuestre que existe $x\in T$ tal que $x^2+1=0$ . Propuesto por Masoud Shafaei