Encuentra el menor número real $x$ que cumpla todas las siguientes desigualdades: $$\lfloor x\rfloor< \lfloor x^2\rfloor<\lfloor x^3\rfloor<\cdots<\lfloor x^n\rfloor<\lfloor x^{n+1}\rfloor<\cdots$$ Nota: $\lfloor x\rfloor$ es el mayor número entero menor o igual a $x$, es decir, es el único entero que cumple que $\lfloor x\rfloor\leq x<\lfloor x\rfloor+1$.

Cada uno de los números del $1$ al $4027$ se ha coloreado de verde o de rojo. Cambiar el color de un número es pasarlo a verde si era rojo, y pasarlo a rojo si era verde. Diremos que dos enteros positivos $m$ y $n$ son "cuates" si alguno de los números $\frac{m}{n}$ o $\frac{n}{m}$ es un número primo. Un paso consiste en elegir dos números que sean cuates y cambiar el color de cada uno de los números. Muestra que después de realizar algunos pasos es posible hacer que todos los números del $1$ al $2014$ sean verdes.

Una pareja de enteros positivos $m,n$ es "guerrera" si existen enteros positivos $a,b,c,d$ con $m=ab, n=cd$ y $a+b=c+d$. Por ejemplo, la pareja $8,9$ es guerrera pues $8=4\cdot 2$, $9=3\cdot 3$ y $4+2=3+3$. Se colorean los enteros positivos de la siguiente manera: Empezamos coloreando el $3$ y el $5$. Después, si algún entero positivo no está coloreado y este tiene una pareja guerrera que ya está coloreado, entonces lo coloreamos. Encuentra todos los enteros positivos que eventualmente se colorean.

Sean $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, $\ell_1$ la recta paralela a $BC$ que pasa por $A$ y $\ell_2$ la recta paralela a $AD$ que pasa por $B$. La recta $DC$ corta a $\ell_1$ y $\ell_2$ en los puntos $E$ y $F$, respectivamente. La recta perpendicular a $\ell_1$ que pasa por $A$ corta a $BC$ en $P$ y la recta perpendicular a $\ell_2$ por $B$ corta a $AD$ en $Q$. Sean $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ las circunferencias que pasan por los vértices de los triángulos $ADE$ y $BFC$, respectivamente. Demuestra que $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ son tangentes si y sólo si $DP$ es perpendicular a $CQ$.

Sean $n\geq 2$ y $m\geq 2$ enteros positivos. Se tienen $m$ urnas dispuestas en fila. Los jugadores $A$ y $B$ juegan por turnos, comenzando por $A$, de la siguiente manera. En cada turno, $A$ elige dos urnas y coloca un voto en cada una de ellas. Posteriormente, $B$ elige una urna, y elimina todos los votos de esa. $A$ gana si logra que haya una urna con $n$ votos después de algún turno de $B$. Determina para cada $n$ el mínimo valor de $m$ para el cual $A$ puede garantizar ganar, sin importar los movimientos que haga $B$.

Sean $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ dos circunferencias tangentes externamente en $S$ tales que el radio de $\mathcal{C}_2$ es el triple del radio de $\mathcal{C}_1$. Sea $\ell$ una recta que es tangente a $\mathcal{C}_1$ en $P$ y tangente a $\mathcal{C}_2$ en $Q$, con $P$ y $Q$ distintos de $S$. Sea $T$ el punto en $\mathcal{C}_2$ tal que $TQ$ es diámetro de $\mathcal{C}_2$ y sea $R$ la intersección de la bisectriz de $\angle SQT$ con el segmento $ST$. Demuestra que $QR=RT$.

Sea $\mathbb{N}=\{1,2,3,\cdots\}$ el conjunto de los números enteros positivos. Sea $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ una función, la cual asigna a cada número entero positivo, un número entero positivo. Supón que $f$ satisface las siguientes dos condiciones: a) $f(1)=1$. b) Para toda pareja $a,b$ de enteros positivos, se tiene que $$f(a+b+ab)=a+b+f(ab)$$ Encuentra el valor de $f(2015)$.

Sea $n$ un entero positivo y sean $d_1,d_2,\cdots, d_k$ todos sus divisores positivos ordenados de menor a mayor. Considera el número $$f(n)=(-1)^{d_1}d_1+(-1)^{d_2}d_2+\cdots+(-1)^{d_k}d_k.$$ Por ejemplo, los divisores positivos de $10$ son $1$, $2$, $5$ y $10$, así que $$f (10) = (-1)^1 \cdot 1 + (-1)^2 \cdot 2 + (-1)^5 \cdot 5 + (-1)^{10} \cdot 10 = 6.$$ Supón que $f(n)$ es una potencia de $2$. Muestra que si $m$ es un entero mayor que $1$, entonces $m^2$ no divide a $n$.

Decimos que un número entero no-negativo $n$ “contiene” a otro número entero no-negativo $m$, si los dígitos de su expansión (o desarrollo) decimal aparecen en forma consecutiva en la expansión (o desarrollo) decimal de $n$. Por ejemplo, $2016$ contiene a $2,0,1,6,20,16,201$ y $2016$. Determina el mayor número entero $n$ que no contiene a ningún múltiplo de $7$.

Sea $n$ un entero positivo. María escribe en un pizarrón las $n^3$ ternas que se pueden formar tomando tres enteros, no necesariamente distintos, entre $1$ y $n$, incluyéndolos. Después, para cada una de las ternas, María determina el mayor (o los mayores, en caso de que haya más de uno) y borra los demás. Por ejemplo, en la terna $(1,3,4)$ borrará los números $1$ y $3$, mientras que en la terna $(1,2,2)$ borrará sólo el número $1$. Muestra que, al terminar este proceso, la cantidad de números que quedan escritos en el pizarrón no puede ser igual al cuadrado de un número entero.