096 Se dibuja una circunferencia de radio $100$ cm sobre papel cuadriculado con cuadrados de lado $1$ cm. Esta no pasa por los vértices de los cuadrados ni toca las líneas. ¿Por cuántos cuadrados puede pasar?

024 Sean $x,y,z$ tres enteros distintos. Demuestre que $$(x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5$$ es divisible por $$5(x-y)(y-z)(z-x)$$

101 Dados dos triángulos acutángulos $ABC$ y $A'B'C'$ con los puntos $O$ y $O'$ en su interior. Se trazan tres pares de perpendiculares: $[OA_1]$ al lado $[BC]$, $[O'A'_1]$ al lado $[B'C']$, $[OB_1]$ al lado $[AC]$, $[O'B'_1]$ al lado $[A'C']$, $[OC_1]$ al lado $[AB]$, $[O'C'_1]$ al lado $[A'B']$; se sabe que $$[OA_1] \parallel [O'A'], [OB_1] \parallel [O'B'], [OC_1] \parallel [O'C']$$ y $$|OA_1|\cdot|O'A'| = |OB_1|\cdot |O'B'| = |OC_1|\cdot |O'C'|$$ Demuestre que $$[O'A'_1] \parallel [OA], [O'B'_1] \parallel [OB], [O'C'_1] \parallel [OC]$$ y $$|O'A'_1|\cdot|OA| = |O'B'_1|\cdot|OB| = |O'C'_1|\cdot|OC|$$

083 Se escriben $20$ números en la pizarra $1, 2, ... ,20$. Dos jugadores colocan signos antes de los números por turnos ($+$ o $-$). El primero desea obtener el valor absoluto mínimo posible de la suma. ¿Cuál es el valor máximo del valor absoluto de la suma que puede lograr el segundo jugador?

132 Los dígitos del número de $17$ dígitos se reordenan en orden inverso. Demuestre que al menos un dígito de la suma del nuevo número y el número inicial es par.

120 Dado un natural $n$. Considere todas las fracciones $1/(pq)$, donde $p$ y $q$ son primos entre sí, $0<p<q\le n$ y $p+q>n$. Demuestre que la suma de todas esas fracciones es igual a $1/2$.

129 Dado un círculo, su diámetro $[AB]$ y un punto $C$ en él. Construya (con la ayuda de regla y compás) dos puntos $X$ e $Y$, que sean simétricos con respecto a la recta $(AB)$, tales que $(YC)$ sea ortogonal a $(XA)$.

025 Dados $a_0, a_1, ... , a_n$. Se sabe que $$a_0=a_n=0, a_{k-1}-2a_k+a_{k+1}\ge 0$$ para todo $k = 1, 2, ... , n-1$. Demuestre que todos los números son no negativos.

170 El punto $O$ en el interior de un polígono convexo forma un triángulo isósceles con todos los pares de sus vértices. Demuestre que $O$ es el centro del círculo circunscrito. Otra formulación: $P$ es un polígono convexo y $X$ es un punto interior tal que para todo par de vértices $A, B$, el triángulo $XAB$ es isósceles. Demuestre que todos los vértices de $P$ yacen sobre un círculo con centro $X$.

169 Sean $x,y$ números positivos, $s$ el menor de los elementos del conjunto $\{ x, (y+ 1/x), 1/y\}$. ¿Cuál es el mayor valor posible de $s$? ¿A qué valores de $x$ e $y$ corresponde?