Sean $\Omega_1, \Omega_2$ dos círculos que se intersecan con centros $O_1, O_2$ respectivamente. Sea $l$ una línea que interseca a $\Omega_1$ en los puntos $A, C$ y a $\Omega_2$ en los puntos $B, D$ tales que $A, B, C, D$ son colineales en ese orden. Sea la bisectriz perpendicular del segmento $A B$ que interseca a $\Omega_1$ en los puntos $P, Q$ ; y la bisectriz perpendicular del segmento $C D$ que interseca a $\Omega_2$ en los puntos $R, S$ tales que $P, R$ están en el mismo lado de $l$ . Demuestre que los puntos medios de $P R, Q S$ y $O_1 O_2$ son colineales.

Para cualquier número natural $n$ , expresado en base 10 , sea $s(n)$ la suma de todos sus dígitos. Encuentre todos los números naturales $m$ y $n$ tales que $m<n$ y $$(s(n))^2=m \text { y } (s(m))^2=n .$$

Sea $\omega$ un semicírculo con $A B$ como el diámetro delimitador y sea $C D$ una cuerda variable del semicírculo de longitud constante tal que $C, D$ se encuentren en el interior del arco $A B$ . Sea $E$ un punto en el diámetro $A B$ tal que $C E$ y $D E$ estén igualmente inclinados a la línea $A B$ . Demuestre que (a) la medida de $\angle C E D$ es una constante; (b) la circunferencia circunscrita del triángulo $C E D$ pasa por un punto fijo.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de todos los enteros positivos y $S=\left\{(a, b, c, d) \in \mathbb{N}^4: a^2+b^2+c^2=d^2\right\}$ . Encuentre el entero positivo más grande $m$ tal que $m$ divide a abcd para todo $(a, b, c, d) \in S$ .

Sea $ G$ un grafo simple con conjunto de vértices $ V=\{0,1,2,3,\cdots ,n+1\}$. $ j$ y $ j+1$ están conectados por una arista para $ 0\le j\le n$. Sea $ A$ un subconjunto de $ V$ y $ G(A)$ el subgrafo inducido asociado con $ A$. Sea $ O(G(A))$ el número de componentes de $ G(A)$ que tienen un número impar de vértices. Sea $ T(p,r)=\{A\subset V \mid 0.n+1 \notin A,|A|=p,O(G(A))=2r\}$ para $ r\le p \le 2r$. Demuestra que $ |T(p,r)|={n-r \choose{p-r}}{n-p+1 \choose{2r-p}}$.

Encuentra todos los enteros $ n\ge 2$ con la siguiente propiedad: Existen tres primos distintos $p,q,r$ tales que siempre que $ a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n$ sean $n$ enteros positivos distintos con la propiedad de que al menos uno de $ p,q,r$ divide a $ a_j - a_k \ \forall 1\le j\le k\le n$, uno de $ p,q,r$ divide todas estas diferencias.

Para un cierto triángulo, todas sus alturas son enteros cuya suma es menor que 20. Si su inradio también es un entero, encuentra todos los valores posibles del área del triángulo.

Sean $ f(x)=\sum_{k=1}^n a_k x^k$ y $ g(x)=\sum_{k=1}^n \frac{a_k x^k}{2^k -1}$ dos polinomios con coeficientes reales. Sea g(x) tiene $ 0,2^{n+1}$ como dos de sus raíces. Demuestra que $ f(x)$ tiene una raíz positiva menor que $ 2^n$.

Sea $n$ un número natural $ \ge 2$ que divide a $ 3^n+4^n$. Demuestra que $ 7\mid n$.

Sea $P$ cualquier punto en el interior de un $ \triangle ABC$. Demuestra que $ \frac{PA}{a}+\frac{PB}{b}+\frac{PC}{c}\ge \sqrt{3}$.