Sean $a_1, a_2, a_3$ tres números reales distintos. Defina $$\begin{cases} b_1=\left(1+\dfrac{a_1a_2}{a_1-a_2}\right)\left(1+\dfrac{a_1a_3}{a_1-a_3}\right) \\ \\ b_2=\left(1+\dfrac{a_2a_3}{a_2-a_3}\right)\left(1+\dfrac{a_2a_1}{a_2-a_1}\right) \\ \\ b_3=\left(1+\dfrac{a_3a_1}{a_3-a_1}\right)\left(1+\dfrac{a_3a_2}{a_3-a_2}\right) \end {cases}$$ Demuestre que $$1 + |a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3| \le (1+|a_1|) (1+|a_2|)(1+|a_3|)$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad?

Sea $P$ un punto en la circunferencia circunscrita de un cuadrado $ABCD$. Encuentre todos los enteros $n > 0$ tales que la suma $$S_n(P) = |PA|^n + |PB|^n + |PC|^n + |PD|^n$$ es constante con respecto al punto $P$.

Las diagonales $AC$ y $BD$ de un cuadrilátero cíclico $ABCD$ se encuentran en $P$ . El punto $Q$ se elige en el segmento $BC$ de modo que $PQ$ sea perpendicular a $AC$ . Demuestre que la línea que une los centros de las circunferencias circunscritas de los triángulos $APD$ y $BQD$ es paralela a $AD$ .

Las longitudes de los lados $a,b,c$ de un triángulo $ABC$ son enteros positivos. Sea: $$T_{n}=(a+b+c)^{2n}-(a-b+c)^{2n}-(a+b-c)^{2n}+(a-b-c)^{2n}$$ para cualquier entero positivo $n$ . Si $\frac{T_{2}}{2T_{1}}=2023$ y $a>b>c$ , determine todos los perímetros posibles del triángulo $ABC$ .

El conjunto $X$ de $N$ números de cuatro dígitos formados a partir de los dígitos $1,2,3,4,5,6,7,8$ satisface la siguiente condición: para cualquier dos dígitos diferentes de $1,2,3,4,,6,7,8$ existe un número en $X$ que contiene ambos. Determine el valor posible más pequeño de $N$ .

Sea $f(x)$ un polinomio con coeficientes reales de grado 2. Suponga que para algunos números reales distintos por pares , $a,b,c$ tenemos: $$f(a)=bc , f(b)=ac, f(c)=ab$$ Determine $f(a+b+c)$ en términos de $a,b,c$ .

Dado un número primo $p$ tal que $2p$ es igual a la suma de los cuadrados de algunos cuatro enteros positivos consecutivos. Demuestre que $p-7$ es divisible por 36.

Dado un triángulo $ABC$ con $\angle ACB = 120^{\circ}.$ Un punto $L$ está marcado en el lado $AB$ tal que $CL$ biseca a $\angle ACB.$ Los puntos $N$ y $K$ se eligen en los lados $AC$ y $BC $ tales que $CK+CN=CL.$ Demuestre que el triángulo $KLN$ es equilátero.

Considere un conjunto de $16$ puntos dispuestos en una formación de cuadrícula cuadrada de $4 \times 4$ . Demuestre que si alguno de estos $7$ puntos está coloreado de azul, entonces existe un triángulo rectángulo isósceles cuyos vértices son todos azules.

Sean $n>k>1$ enteros positivos. Determine todos los números reales positivos $a_1, a_2, \ldots, a_n$ que satisfacen $$\sum_{i=1}^n \sqrt{\frac{k a_i^k}{(k-1) a_i^k+1}}=\sum_{i=1}^n a_i=n .$$