Un coleccionista de monedas raras tiene monedas de denominaciones $1,2,3,\dots,n$ (tiene muchas monedas de cada denominación). Desea poner algunas de sus monedas en $5$ cajas de manera que se cumplan las siguientes condiciones: a) En cada caja hay a lo más una moneda de cada denominación. b) Todas las cajas tienen el mismo número de monedas y la misma cantidad de dinero. c) Para cualesquiera dos cajas sucede que entre las dos tienen por lo menos una moneda de cada denominación. d) No existe una denominación tal que todas las cajas tengan una moneda de esta denominación ¿Para qué valores de $n$ puede el coleccionista hacer lo que se propone?

Se tienen algunas pelotas de colores (son por lo menos tres colores), y por lo menos tres cajas. Las pelotas se ponen en las cajas de manera que no quede vacía ninguna caja y que no haya tres pelotas de colores distintos que estén en tres cajas distintas. Muestra que hay una caja tal que todas las pelotas que están fuera de ella son del mismo color.

Dados dos enteros positivos $n$ y $a$ se forma una lista de $2001$ números enteros como sigue: El primer número es $a$; a partir del segundo, cada número es el residuo que se obtiene al dividir el cuadrado del anterior entre $n$. A los números de la lista se les ponen los signos $+$ y $-$ alternadamente empezando con $+$. Los números con signo así obtenidos se suman y a esa suma se le llama suma final para $n$ y $a$. ¿Para qué números enteros $n\geq 5$ existe alguna $a$ tal que $2\leq a \leq \frac{n}{2}$ y la suma final para $n$ y $a$ es positiva?

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB\lt AC$ y el ángulo $\angle BAC$ es el doble del ángulo $\angle BCA$. EN el lado $AC$ se toma un punto $D$ tal que $CD=AB$. Por el punto $B$ se traza una recta $\ell$ paralela a $AC$. La bisectriz exterior del ángulo en $A$ intersecta a $\ell$ en el punto $M$, y la paralela a $AB$ por el punto $C$ intersecta a $\ell$ en el punto $N$. Muestra que $MD=ND$.

Sean $a,b,c,d,e,f$ enteros positivos y $S=a+b+c+d+e+f$. Supon que $S\mid abc+def$ y $S\mid ab+bc+ca-de-ef-fd$. Demuestra que $S$ es un numero compuesto.

Demuestra que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que el mayor divisor primo de $n^4+n^2+1$ es el mayor divisor primo de $(n+1)^4+(n+1)^2+1$.

Elmo llama "delicioso" a un polinomio monico si todos sus coeficientes estan en el rango $[-1,1]$. Un polinomio monico $P$ con coeficientes reales y raices compleja $\chi_1,\ldots, \chi_m$ (con multiplicidad) se le da a Elmo, y descubre que no existe un polinomio monico $Q$ con coeficientes reales tal que $PQ$ sea delicioso. Encuentra todos los posibles valores de $\max (|\chi_1|,\ldots, |\chi_m|)$.

Sea $P(X)$ un polinomio de grado $n\geq 2$ con coefficientes no negativos. Sean $a,b,c$ lados de un triangulo, demuestra que $\sqrt[n]{P(a)}, \sqrt[n]{P(b)}, \sqrt[n]{P(c)}$ tambien son lados de un triangulo.

El polinomio $P(x)$ es tal que $P(P(x))$ (y $P(P(P(x)))$ ) es estrictamente monotonico en todos los reales. Demuestra que $P(x)$ tambien debe serlo.

Determina todos los conjuntos de enteros positivos $\{a_1,\ldots, a_n\}$ tales que $$a_1a_2\cdots a_n\mid (x+a_1)(x+a_2)\cdots (x+a_n)$$ para todo entero positivo $x$.