Encuentra todos los enteros positivos $n$ que satisfacen las condiciones $a)n^2=(a+1)^3-a^3$ $b)2n+119$ es un cuadrado perfecto.

Se dice que un conjunto de $n$ pesos enteros distintos $w_1,w_2,\ldots, w_n$ está balanceado si después de eliminar cualquiera de los pesos, los $(n-1)$ pesos restantes se pueden dividir en dos subcolecciones (no necesariamente del mismo tamaño) con la misma suma. $a)$ Pruebe que si existen conjuntos balanceados de tamaños $k,j$ entonces también existe un conjunto balanceado de tamaño $k+j-1$ . $b)$ Pruebe que para todo $n$ impar $\geq 7$ existe un conjunto balanceado de tamaño $n$ .

Sean los números reales $a,b,c,d$ que satisfacen las relaciones $a+b+c+d=6$ y $a^2+b^2+c^2+d^2=12.$ Pruebe que \[36 \leq 4 \left(a^3+b^3+c^3+d^3\right) - \left(a^4+b^4+c^4+d^4 \right) \leq 48.\]

Sea $ABC$ un triángulo tal que cada uno de sus ángulos es mayor que $30^{\circ}$. Suponga que un círculo centrado en $P$ corta los segmentos $BC$ en $T,Q; CA$ en $K,L$ y $AB$ en $M,N$ tal que están en un círculo en sentido antihorario en ese orden. Suponga además que $PQK,PLM,PNT$ son equiláteros. Pruebe que: $a)$ El radio del círculo es $\frac{2abc}{a^2+b^2+c^2+4\sqrt{3}S}$ donde $S$ es el área. $b) a\cdot AP=b\cdot BP=c\cdot PC.$

Sea $b \geqslant 2$ un entero positivo. Anu tiene una colección infinita de notas con exactamente $b-1$ copias de una nota con valor de $b^k-1$ rupias, para cada entero $k\geqslant 1$ . Un entero positivo $n$ es llamado pagable si Anu puede pagar exactamente $n^2+1$ rupias usando alguna colección de sus notas. Pruebe que si hay un número pagable, hay infinitos números pagables.

El codicioso duende Griphook tiene un $2000$ - gono regular, cuyo cada vértice tiene una sola moneda. En un movimiento, elige un vértice, remueve una moneda de cada uno de los dos vértices adyacentes, y añade una moneda al vértice elegido, quedándose con la moneda restante para sí mismo. Solo puede hacer tal movimiento si ambos vértices adyacentes tienen al menos una moneda. Griphook se detiene solo cuando no puede hacer más movimientos. ¿Cuál es el número máximo y mínimo de monedas que podría haber recolectado?

Sea $n\ge 3$ un entero positivo. Encuentre el número real más grande $t_n$ como una función de $n$ tal que la desigualdad \[\max\left(|a_1+a_2|, |a_2+a_3|, \dots ,|a_{n-1}+a_{n}| , |a_n+a_1|\right) \ge t_n \cdot \max(|a_1|,|a_2|, \dots ,|a_n|)\] se cumple para todos los números reales $a_1, a_2, \dots , a_n$ .

Euclides tiene una herramienta llamada divisor que solo puede hacer los siguientes dos tipos de operaciones : • Dados tres puntos marcados no colineales $X,Y,Z$ puede dibujar la línea que forma la bisectriz del ángulo interior de $\angle{XYZ}$ . • Puede marcar el punto de intersección de dos líneas no paralelas dibujadas previamente . Suponga que a Euclides solo se le dan tres puntos marcados no colineales $A,B,C$ en el plano . Pruebe que Euclides puede usar el divisor varias veces para dibujar el centro del círculo que pasa por $A,B$ y $C$ .

Sea $n\ge 2$ un entero positivo. Los enteros $1,2,\cdots,n$ están escritos en una pizarra. En un movimiento, Alice puede escoger dos enteros escritos en la pizarra $a\neq b$ tales que $a+b$ es un número par, borrar ambos $a$ y $b$ de la pizarra y escribir el número $\frac{a+b}{2}$ en la pizarra en su lugar. Encuentra todos los $n$ para los cuales Alice puede hacer una secuencia de movimientos de manera que termine con solo un número restante en la pizarra.\nNota. Cuando $n=3$ , Alice cambia $(1,2,3)$ a $(2,2)$ y no puede hacer más movimientos.

Considere la secuencia definida por \(a_1 = 2\) , \(a_2 = 3\) , y \[ a_{2k+1} = 2 + 2a_k, \quad a_{2k+2} = 2 + a_k + a_{k+1}, \] para todos los enteros \(k \geq 1\) . Determine todos los enteros positivos \(n\) tales que \[ \frac{a_n}{n} \] es un entero.