Sean $ a,b,c$ y $ d$ cuatro números reales cualesquiera, no todos iguales a cero. Demuestra que las raíces del polinomio $ f(x) = x^{6} + ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ no pueden ser todas reales.

Demuestra que el polinomio $ f(x) = x^{4} + 26x^{3} + 56x^{2} + 78x + 1989$ no se puede expresar como un producto $ f(x) = p(x)q(x)$ , donde $ p(x)$ y $ q(x)$ son ambos polinomios con coeficientes enteros y con grado al menos $ 1$ .

Sean $\{a_0,a_1,\ldots\}$ y $\{b_0,b_1,\ldots\}$ dos sucesiones infinitas de enteros tales que \[(a_{n}-a_{n-1})(a_n-a_{n-2}) +(b_n-b_{n-1})(b_n-b_{n-2})=0\] para todos los enteros $n\geq 2$ . Pruebe que existe un entero positivo $k$ tal que \[a_{k+2011}=a_{k+2011^{2011}}.\]

Encuentre todos los pares $(m,n)$ de enteros no negativos para los cuales \[m^2 + 2 \cdot 3^n = m\left(2^{n+1} - 1\right).\]

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sean $AD,BE,CF$ bisectrices internas con $D, E, F$ en $BC, CA, AB$ respectivamente. Pruebe que \[\frac{EF}{BC}+\frac{FD}{CA}+\frac{DE}{AB}\geq 1+\frac{r}{R}\]

Considere una cuadrícula cuadrada de $ n\times n $ que se divide en $ n^2 $ cuadrados unitarios (piense en un tablero de ajedrez). El conjunto de todos los cuadrados unitarios que se intersecan con la diagonal principal del cuadrado o que se encuentran debajo de ella se denomina $n$ - escalera. Encuentre el número de formas en que una $n$ - escalera se puede dividir en varios rectángulos, con lados a lo largo de las líneas de la cuadrícula, que tienen áreas mutuamente distintas.

Pruebe que para ningún entero $ n$ , $ n^7 + 7$ es un cuadrado perfecto.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $BC \parallel AE,$ $AB = BC + AE,$ y $\angle ABC = \angle CDE.$ Sea $M$ el punto medio de $CE,$ y sea $O$ el circuncentro del triángulo $BCD.$ Dado que $\angle DMO = 90^{\circ},$ pruebe que $2 \angle BDA = \angle CDE.$

Sea $T$ un subconjunto finito no vacío de enteros positivos $\ge 1$ . Un subconjunto $S$ de $T$ se llama bueno si para cada entero $t\in T$ existe un $s$ en $S$ tal que $gcd(t,s) >1$ . Sea \[A={(X,Y)\mid X\subseteq T,Y\subseteq T,gcd(x,y)=1 \text{para todo} x\in X, y\in Y}\] Pruebe que : $a)$ Si $X_0$ no es bueno entonces el número de pares $(X_0,Y)$ en $A$ es par . $b)$ el número de subconjuntos buenos de $T$ es impar .

Suponga que $a_1,\ldots,a_n$ son números reales no enteros para $n\geq 2$ tal que ${a_1}^k+\ldots+{a_n}^k$ es un entero para todos los enteros $1\leq k\leq n$ . Pruebe que ninguno de $a_1,\ldots,a_n$ es racional.