Sea $ABC$ un triángulo con $AB=AC$ y sea $D$ el punto medio de $AC$ . La bisectriz del ángulo $\angle BAC$ interseca al círculo que pasa por $D,B$ y $C$ en el punto $E$ dentro del triángulo $ABC$ . La línea $BD$ interseca al círculo que pasa por $A,E$ y $B$ en dos puntos $B$ y $F$ . Las líneas $AF$ y $BE$ se encuentran en un punto $I$ , y las líneas $CI$ y $BD$ se encuentran en un punto $K$ . Muestra que $I$ es el incentro del triángulo $KAB$ .

Supón que $1000$ estudiantes están de pie en un círculo. Demuestra que existe un entero $k$ con $100 \leq k \leq 300$ tal que en este círculo existe un grupo contiguo de $2k$ estudiantes, para el cual la primera mitad contiene el mismo número de chicas que la segunda mitad.

Demuestra que existen infinitamente muchos pares $(a, b)$ de enteros positivos con la propiedad de que $a+b$ divide a $ab+1$ , $a-b$ divide a $ab-1$ , $b>1$ y $a>b\sqrt{3}-1$

Determina todas las secuencias $(x_1,x_2,\ldots,x_{2011})$ de enteros positivos, tales que para cada entero positivo $n$ existe un entero $a$ con \[\sum^{2011}_{j=1} j x^n_j = a^{n+1} + 1\]

Determina el mayor entero positivo $k$ que satisface la siguiente propiedad: El conjunto de enteros positivos se puede dividir en $k$ subconjuntos $A_1, A_2, \ldots, A_k$ tales que para todos los enteros $n \geq 15$ y todos los $i \in \{1, 2, \ldots, k\}$ existen dos elementos distintos de $A_i$ cuya suma es $n.$

Sea $P(z)=a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots+a_mz^m$ un polinomio con coeficientes complejos tal que $a_m\neq 0, a_n\neq 0$ y $n>m$ . Demuestra que \[\text{max}_{|z|=1}\{|P(z)|\}\ge\sqrt{2|a_ma_n|+\sum_{k=m}^{n} |a_k|^2}\]

El circuncentro del cuadrilátero cíclico $ABCD$ es $O$ . El segundo punto de intersección de los círculos $ABO$ y $CDO$ , además de $O$ , es $P$ , que se encuentra en el interior del triángulo $DAO$ . Elige un punto $Q$ en la extensión de $OP$ más allá de $P$ , y un punto $R$ en la extensión de $OP$ más allá de $O$ . Demuestra que $\angle QAP=\angle OBR$ si y sólo si $\angle PDQ=\angle RCO$ .

Sea $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ una función tal que $f(x+y+xy)=f(x)+f(y)+f(xy)$ para todo $x, y\in\mathbb{R}$ . Demuestra que $f$ satisface $f(x+y)=f(x)+f(y)$ para todo $x, y\in\mathbb{R}$ .

Sean $0<x<y<z<p$ enteros donde $p$ es un primo. Demuestra que las siguientes afirmaciones son equivalentes: $(a) x^3\equiv y^3\pmod p\text{ y }x^3\equiv z^3\pmod p$ $(b) y^2\equiv zx\pmod p\text{ y }z^2\equiv xy\pmod p$

Sea $ABCD$ un trapecio con $AB\parallel CD$ . Sea $P$ un punto en $AC$ tal que $C$ está entre $A$ y $P$ ; y sean $X, Y$ los puntos medios de $AB, CD$ respectivamente. Sea $PX$ que interseca a $BC$ en $N$ y $PY$ que interseca a $AD$ en $M$ . Demuestra que $MN\parallel AB$ .