Considera un triángulo $ABC$ con $AB = 13, BC = 14, CA = 15$ . Una línea perpendicular a $BC$ divide el interior de $\vartriangle ABC$ en dos regiones de igual área. Suponga que la perpendicular antes mencionada corta a $BC$ en $D$ , y corta a $\vartriangle ABC$ nuevamente en $E$ . Si $L$ es la longitud del segmento de línea $DE$ , encuentre $L^2$ .

Considere un triángulo rectángulo $ABC$ con $\angle C = 90^o$. Suponga que la hipotenusa $AB$ se divide en cuatro partes iguales por los puntos $D,E,F$, tal que $AD = DE = EF = FB$. Si $CD^2 +CE^2 +CF^2 = 350$, encuentre la longitud de $AB$.

Suponga que $N$ es cualquier entero positivo. Suma los dígitos de $N$ para obtener un entero más pequeño. Repita este proceso de suma de dígitos hasta que obtenga un número de un solo dígito. Encuentre el número de enteros positivos $N \le 1000$, tales que el número final de un solo dígito $n$ sea igual a $5$. Ejemplo: $N = 563\to (5 + 6 + 3) = 14 \to(1 + 4) = 5$ se contará como uno de esos enteros.

Encuentra el número de soluciones enteras de la ecuación $x^{2016} + (2016! + 1!) x^{2015} + (2015! + 2!) x^{2014} + ... + (1! + 2016!) = 0$

Considere todos los enteros posibles $n \ge 0$ tales que $(5 \cdot 3^m) + 4 = n^2$ se cumple para algún entero correspondiente $m \ge 0$. Encuentra la suma de todos esos $n$.

Sea $\mathbb{R}^{+}$ el conjunto de todos los números reales positivos. Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{R}^{+}\longrightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen \[f(x)+f(y)\le \frac{f(x+y)}{2}, \frac{f(x)}{x}+\frac{f(y)}{y}\ge \frac{f(x+y)}{x+y},\] para todo $x, y\in \mathbb{R}^{+}$ .

Encuentra el menor entero positivo que no se puede representar como $\frac{2^a-2^b}{2^c-2^d}$ para algunos enteros positivos $a, b, c, d$ .

Un cuadrilátero $ABCD$ sin lados paralelos está circunscrito alrededor de un círculo con centro $O$ . Demuestra que $O$ es un punto de intersección de las líneas medias del cuadrilátero $ABCD$ (es decir, el baricentro de los puntos $A,\,B,\,C,\,D$ ) si y sólo si $OA\cdot OC=OB\cdot OD$ .

En un arreglo de $2\times n$ tenemos reales positivos s.t. la suma de los números en cada una de las $n$ columnas es $1$ . Muestra que podemos seleccionar un número en cada columna s.t. la suma de los números seleccionados en cada fila es a lo sumo $\frac{n+1}4$ .

Sea $S$ un conjunto no vacío de primos que satisface la propiedad de que para cada subconjunto propio $P$ de $S$ , todos los factores primos del número $\left(\prod_{p\in P}p\right)-1$ también están en $S$ . Determina todos los conjuntos $S$ posibles.