Sea $n$ un entero positivo y sea $(1+iT)^n=f(T)+ig(T)$ donde $i$ es la raíz cuadrada de $-1$, y $f$ y $g$ son polinomios con coeficientes reales. Demuestre que para cualquier número real $k$ la ecuación $f(T)+kg(T)=0$ tiene solo raíces reales.

¿Es posible encontrar $100$ enteros positivos que no excedan $25,000$, tales que todas las sumas por pares de ellos sean diferentes?

Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales arbitrarios. Pruebe la desigualdad \[ \frac{x_1}{1+x_1^2} + \frac{x_2}{1+x_1^2 + x_2^2} + \cdots + \frac{x_n}{1 + x_1^2 + \cdots + x_n^2} < \sqrt{n}. \]

Sea $p$ un primo impar y sea $a$ un entero no divisible por $p$. Demuestre que hay $p^2+1$ ternas de enteros $(x,y,z)$ con $0 \le x,y,z < p$ y tales que $(x+y+z)^2 \equiv axyz \pmod p$

Sean $ABC$ y $PQR$ dos triángulos tales que (a) $P$ es el punto medio de $BC$ y $A$ es el punto medio de $QR$. (b) $QR$ biseca $\angle BAC$ y $BC$ biseca $\angle QPR$ Pruebe que $AB+AC=PQ+PR$.

Sean $a,b$ enteros con $0<a<b$. Un conjunto $\{x,y,z\}$ de enteros no negativos es olímpico si $x<y<z$ y si $\{z-y,y-x\}=\{a,b\}$. Demuestre que el conjunto de todos los enteros no negativos es la unión de conjuntos olímpicos disjuntos por pares.

Sea $ABC$ un triángulo y $P$ un punto exterior en el plano del triángulo. Suponga que las líneas $AP$, $BP$, $CP$ se encuentran con los lados $BC$, $CA$, $AB$ (o sus extensiones) en $D$, $E$, $F$, respectivamente. Suponga además que las áreas de los triángulos $PBD$, $PCE$, $PAF$ son todas iguales. Pruebe que cada una de estas áreas es igual al área del propio triángulo $ABC$.

Sea $ T$ el conjunto de todas las ternas ordenadas $ (p,q,r)$ de enteros no negativos. Encuentre todas las funciones $ f: T \rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen \[ f(p,q,r) = \begin{cases} 0 & \text{si} \; pqr = 0, \\ \n1 + \frac{1}{6}(f(p + 1,q - 1,r) + f(p - 1,q + 1,r) & \\ \n+ f(p - 1,q,r + 1) + f(p + 1,q,r - 1) & \\ + f(p,q + 1,r - 1) + f(p,q - 1,r + 1)) & \text{de otra manera} \end{cases} \]

En cada día de su gira por las Indias Occidentales, Sourav y Srinath tienen una manzana o una naranja para el desayuno. Sourav come naranjas durante los primeros $m$ días, manzanas durante los siguientes $m$ días, seguidas de naranjas durante los siguientes $m$ días, y así sucesivamente. Srinath come naranjas durante los primeros $n$ días, manzanas durante los siguientes $n$ días, seguidas de naranjas durante los siguientes $n$ días, y así sucesivamente. Si $\gcd(m,n)=1$, y si la gira duró $mn$ días, ¿en cuántos días comieron el mismo tipo de fruta?

Sea $\sigma(n)=\sum_{d|n} d$, la suma de los divisores positivos de un entero $n>0$. (a) Demuestre que $\sigma(mn)=\sigma(m)\sigma(n)$ para enteros positivos $m$ y $n$ con $gcd(m,n)=1$ (b) Encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que $\sigma(n)$ sea una potencia de $2$.