Encuentra todos los enteros positivos $N$ con la siguiente propiedad: entre todos los divisores positivos de $N$ hay $10$ números consecutivos pero no $11$.

¿Cuál es la mayor cantidad de enteros positivos que se pueden encontrar de manera que cualesquiera dos de ellos $a$ y $b$ (Con $a\neq b$) cumplan que $|a-b|\geq \frac{ab}{100}$?

En cada cuadrado de una cuadrícula de $6\times 6$ hay una luciérnaga apagada o encendida. Una movida es escoger tres cuadrados consecutivos ya sean los tres verticales o los tres horizontales, y cambiar de estado a las tres luciérnagas que se encuentran en dichos cuadrados. Cambiar de estado a una luciérnaga significa que si está apagada se enciende y viceversa. Muestra que si inicialmente hay una luciérnaga encendida y las demás apagadas, no es posible hacer una serie de movidas tales que al final todas las luciérnagas estén apagadas.

¿Para qué enteros positivos $n$ puede cubrirse una escalera (hecha apilando filas de $n\times 1$, $(n-1)\times 1$, $\cdots$, $1\times 1$) con $n$ cuadrados de lados enteros, no necesariamente del mismo tamaño, sin que estos cuadrados se encimen y sin que sobresalgan del borde de la figura?

Leticia tiene un tablero de $9\times 9$. Dos cuadrados de $1\times 1$ se llaman "amigos" si comparten un lado, si estan en orillas opuestas de una misma fila o de una misma columna. Cada cuadado tiene exactamente $4$ amigos. Leticia va a colorear cada cuadrado con $1$ de $3$ colores: rojo, verde o azul. Dentro de cada cuadrado se va a escribir un número siguiendo las siguientes reglas: - Si el cuadrado es verde, se escribe el número de amigos rojos que tiene mas $2$ veces el número de amigos azules. - Si el cuadrado es rojo, se escribe el número de amigos azules que tiene mas $2$ veces el número de amigos verdes. - Si el cuadrado es azul, se escribe el número de amigos verdes que tiene mas $2$ veces el número de amigos rojos. Cuál es el la suma más grande que Leticia puede obetener al sumar todos los números escritos en el tablero?

Dadas varias cuadrículas del mismo tamaño con números escritos en sus casillas, su suma se efectúa sumando las casillas que están en la misma posición, creando una cuadrícula del mismo tamaño. Dado un entero positivo $N$, diremos que una cuadrícula es $N$-balanceada si tiene números enteros escritos en sus casillas y si la diferencia entre los números escritos en cualesquiera dos casillas que comparten un lado es menor o igual a $N$. Muestra que toda cuadrícula $2n$-balanceada (de cualquier tamaño) se puede escribir como suma de dos cuadrículas $n$-balanceadas. A demás, muestra que toda cuadrícula $3n$-balanceada (de cualquier tamaño) se puede escribir como suma de tres cuadrículas $n$-balanceadas.

Sea $n$ un entero positivo. David tiene 6 tableros de ajedrez de $n\times n$ que ha dispuesto de manera que formen las 6 caras de un cubo de $n \times n \times n$. Se dice que dos casillas $a$ y $b$ estan alineadas si estan en una misma fila o columna en un tablero o continuan asi por los tableros adyacentes.\nDavid coloca algunas torres en tablero de forma que no se ataquen entre si, dos torres se atacan si estan en casillas alineadas.\n¿Cuál es la macima cantidad de torres que David puede colocar?

Determina todas las parejas $(a,b)$ de números enteros distintos de cero para las cuales es posible encontrar un entero entero positivo $x$ primo relativo con $b$ y un entero cualquiera $y$, tales que en la siguiente lista hay una infinidad de números enteros: $$\frac{a+xy}{b}, \frac{a+xy^2}{b^2},\frac{a+xy^3}{b^3}\cdots, \frac{a+xy^n}{b^n},\cdots$$

Sea $n>1$ un entero y sean $d_1<d_2<\cdots<d_m$ la lista completa de sus divisores positivos, incluidos $1$ y $n$. Los $m$ instrumentos de una orquesta matemática se disponen a tocar una pieza musical de $m$ segundos, donde el instrumento $i$ tocara una nota de tono $d_i$ durante $s_i$ segundos (no necesariamente consecutivos)., donde $d_i$ y $s_i$ son enteros positivos. Decimos que esta pieza tiene sonoridad $S=s_1+\cdots+s_m$.\n\nUn par de notas de tonos $a$ y $b$ son armónicas si $\frac{a}{b}$ o $\frac{b}{a}$ es un entero. Si cada instrumento toca al menos un segundo y cada par de notas que suenan al mismo tiempo son armónicas, demuestra que la máxima sonoridad posible de la pieza es un número compuesto.

Sea $n$ un entero positivo. En un jardin de $n\times n$ cuyos lados dan al Norte, Sur, Este y Oeste, se va a construir una fuente usando plataformas de $1\times 1$ que cubran todo el jardín. Ana colocará las plataformas todas a diferente altura. Después, Beto pondrá salidas de agua en algunas de las plataformas. El agua de cada plataforma puede bajar a las plataformas contiguas (hacia el Norte, Sur, Este y Oeste) que tengan menor altura que la plataforma de donde viene el agua, siguiendo su flujo siempre que pueda dirigirse a plataformas de menor altura. El objetivo de Beto es que el agua llegue a todas las plataformas. ¿Cuál es el menor número de salidas de agua que Beto necesita tener disponibles a fin de garantizar que podrá lograr su objetivo, sin importar cómo Ana haya acomodado las plataformas?